Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 2 trong sách bài tập Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số tại một điểm và khi x tiến tới vô cùng. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính liên tục của hàm số và các ứng dụng của giới hạn trong giải tích.

I. Khái niệm cơ bản về giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta cần phân biệt giới hạn trái và giới hạn phải.

Giới hạn trái: lim_x→a^- f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (x < a).
Giới hạn phải: lim_x→a⁺ f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (x > a).

Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải cùng tồn tại và bằng nhau.

II. Các dạng bài tập thường gặp trong Bài 2

Tính giới hạn của hàm số đa thức: Đối với hàm số đa thức, giới hạn có thể được tính bằng cách thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số.
Tính giới hạn của hàm số hữu tỉ: Đối với hàm số hữu tỉ, cần xét các trường hợp mẫu số khác 0, mẫu số bằng 0 (cần phân tích thành nhân tử để khử mẫu).
Tính giới hạn của hàm số chứa căn thức: Cần sử dụng các kỹ thuật như nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Tính giới hạn của hàm số lượng giác: Sử dụng các giới hạn lượng giác cơ bản như lim_x→0 sin(x)/x = 1 và lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0.

III. Ví dụ minh họa và giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4.

Ví dụ 2: Tính lim_x→0 sin(3x) / x

Giải: Ta có lim_x→0 sin(3x) / x = 3 * lim_x→0 sin(3x) / (3x) = 3 * 1 = 3 (sử dụng giới hạn sin(x)/x khi x→0).

IV. Mẹo và lưu ý khi giải bài tập về giới hạn

Luôn kiểm tra xem có dạng vô định nào xuất hiện không (ví dụ: 0/0, ∞/∞).
Sử dụng các kỹ thuật đại số để đơn giản hóa biểu thức trước khi tính giới hạn.
Nắm vững các giới hạn lượng giác cơ bản.
Thực hành nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.

V. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 2.1 SBT Toán 11 - Cánh diều
Bài 2.2 SBT Toán 11 - Cánh diều
Bài 2.3 SBT Toán 11 - Cánh diều

montoan.com.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về Bài 2. Giới hạn của hàm số - SBT Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!