Giải bài 21 trang 76 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 21 trang 76 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 21 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để đảm bảo bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán trong sách bài tập.
Tính các giới hạn sau:
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}}\)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các định lí về giới hạn hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( { - 5 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {3 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 5} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}}}\)
\( = \frac{{ - 5 + 0}}{{3 + 0}} = \frac{{ - 5}}{3}\)
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\left( {\frac{{ - 2}}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( {3 + \frac{2}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{ - 2}}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{3 + \frac{2}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}\)
\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{{{x^2}}}}} = \frac{{0 + 0}}{{3 + 0 + 0}} = 0\).
c) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 9 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{x^2}}} = 9 + 0 = 9\), nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} = \sqrt 9 = 3\).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \frac{3}{1} = 3\).
d) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( { - x} \right)\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}}} \right) = - \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 9 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}} = 9 + 0 = 9\), nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} = \sqrt 9 = 3\).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = - \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = - \frac{3}{1} = - 3\).
e) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 6} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 6}}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 6}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1}}\)
\( = \frac{{2.1 - 6}}{{1 + 1}} = - 2\).
f) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {5 - x} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{5 - x}}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} 5 - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} x}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} 1}}\)
\( = \frac{{5 - \left( { - 3} \right)}}{{\left( { - 3} \right) + 1}} = - 4\).
Giải bài 21 trang 76 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 21 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng vẽ đồ thị là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Nội dung bài tập
Bài 21 bao gồm các câu hỏi và bài tập yêu cầu học sinh:
- Xác định các yếu tố của đồ thị hàm số cosin (biên độ, chu kỳ, pha ban đầu).
- Vẽ đồ thị hàm số cosin dựa trên các yếu tố đã xác định.
- Sử dụng đồ thị hàm số cosin để giải các phương trình lượng giác.
- Ứng dụng kiến thức về hàm cosin vào các bài toán thực tế liên quan đến dao động điều hòa.
Lời giải chi tiết bài 21
Câu a)
Để giải câu a, ta cần xác định các yếu tố của đồ thị hàm số y = cos(x + π/3). Ta có:
- Biên độ: A = 1
- Chu kỳ: T = 2π
- Pha ban đầu: φ = π/3
Dựa vào các yếu tố này, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = cos(x + π/3) bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cos(x) sang trái một đoạn π/3 đơn vị.
Câu b)
Tương tự như câu a, ta xác định các yếu tố của đồ thị hàm số y = 2cos(x - π/4). Ta có:
- Biên độ: A = 2
- Chu kỳ: T = 2π
- Pha ban đầu: φ = -π/4
Đồ thị hàm số y = 2cos(x - π/4) là đồ thị hàm số y = cos(x) được giãn theo phương thẳng đứng với hệ số 2 và dịch chuyển sang phải một đoạn π/4 đơn vị.
Câu c)
Để giải câu c, ta cần giải phương trình cos(x) = 1/2. Ta biết rằng cos(π/3) = 1/2, do đó nghiệm của phương trình là:
x = π/3 + k2π hoặc x = -π/3 + k2π, với k là số nguyên.
Các dạng bài tập thường gặp
Ngoài bài 21, học sinh thường gặp các dạng bài tập sau liên quan đến hàm số lượng giác:
- Xác định các yếu tố của đồ thị hàm số lượng giác.
- Vẽ đồ thị hàm số lượng giác.
- Giải các phương trình lượng giác.
- Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác.
- Chứng minh các đẳng thức lượng giác.
Mẹo học tập hiệu quả
Để học tốt môn Toán, đặc biệt là phần hàm số lượng giác, bạn nên:
- Nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm số lượng giác.
- Luyện tập vẽ đồ thị hàm số lượng giác thường xuyên.
- Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm vẽ đồ thị.
- Học hỏi kinh nghiệm từ bạn bè và thầy cô giáo.
Kết luận
Bài 21 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
