Bài 2. Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất thống kê đóng vai trò quan trọng trong việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về việc đánh giá khả năng xảy ra của các sự kiện. Bài 2 trong SBT Toán 11 - Cánh diều tập trung vào các khái niệm then chốt như biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập và các quy tắc tính xác suất liên quan.

1. Biến cố hợp (Union of Events)

Biến cố hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

P(A) là xác suất của biến cố A
P(B) là xác suất của biến cố B
P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao của A và B

2. Biến cố giao (Intersection of Events)

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra. Để biến cố giao xảy ra, cả A và B phải đồng thời xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập, cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

3. Biến cố độc lập (Independent Events)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, biết A đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của B, và biết B đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của A.

Điều kiện để A và B là độc lập:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

4. Các quy tắc tính xác suất

Ngoài các công thức trên, còn có một số quy tắc tính xác suất quan trọng khác:

Quy tắc bù: P(A') = 1 - P(A), trong đó A' là biến cố đối của A.
Quy tắc cộng xác suất: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Quy tắc nhân xác suất: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B), trong đó P(B|A) là xác suất của B khi A xảy ra, và P(A|B) là xác suất của A khi B xảy ra.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số lớn hơn 3.

Gọi A là biến cố mặt xuất hiện là số chẵn: A = {2, 4, 6} => P(A) = 3/6 = 1/2

Gọi B là biến cố mặt xuất hiện là số lớn hơn 3: B = {4, 5, 6} => P(B) = 3/6 = 1/2

A ∩ B = {4, 6} => P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Gọi A là biến cố quả bóng thứ nhất màu đỏ, B là biến cố quả bóng thứ hai màu đỏ.

P(A) = 5/8

P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả đỏ, còn lại 4 quả đỏ và 7 quả bóng tổng cộng)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập và các quy tắc tính xác suất, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. SBT Toán 11 - Cánh diều cung cấp một loạt các bài tập với mức độ khó tăng dần, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về chủ đề này. Chúc bạn học tập tốt!