THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 55 trang 117 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Tang của góc giữa đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(C'D\) và \(BC\).
e*) Góc giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta sẽ chỉ ra \(AA'\) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Ta chứng minh \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Ta chứng minh \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Do đó, ta cần tính \(\tan \widehat {DBD'}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Chứng minh rằng \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(IC\).
e*) Chỉ ra rằng do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), và bằng góc \(\widehat {AD'C}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\). Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) cũng bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), và bằng \(AA'\).
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\), nên ta có \(AA' = a\).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \(a\).
b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AD \bot CD\), \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\) và \(ADD'A'\) là hình vuông.
Ta nhận xét rằng \(A'D\parallel B'C\), và \(CD \bot A'D\) (do \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\)), cùng với \(AD \bot CD\), ta suy ra \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
Vì \(ADD'A'\) là hình vuông nên \(\widehat {ADA'} = {45^o}\).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\) bằng \({45^o}\).
c) Do \(D\) là hình chiếu của \(D'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\), nên \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên ta có \(BD = a\sqrt 2 \).
Ta có \(\tan \widehat {DBD'} = \frac{{DD'}}{{BD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (tam giác \(DBD'\) vuông tại \(D\))
Vậy tang của góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên \(DCC'D'\) là hình vuông, suy ra \(IC \bot DC'\).
Mặt khác, cũng do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), điều này dẫn tới \(IC \bot BC\).
Như vậy, ta có \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), tức khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là đoạn thẳng \(IC\).
Do \(DCC'D'\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(D'C = a\sqrt 2 \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
e*) Do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), tức là góc \(\widehat {AD'C}\).
Tam giác \(AD'C\) có \(AD' = D'C = AC\) (do đều là mỗi đường chéo của các mặt trong hình lập phương) nên tam giác \(AD'C\) đều. Suy ra \(\widehat {AD'C} = {60^o}\).
Vậy góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) bằng \({60^o}\).
Bài 55 trang 117 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng tính đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 55 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải câu a, ta cần tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1 tại điểm x = 2. Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Thay x = 2 vào f'(x), ta được:
f'(2) = 3(2)2 - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2
Vậy, đạo hàm của hàm số tại x = 2 là 2.
Để giải câu b, ta cần tìm đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x). Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và đạo hàm của các hàm lượng giác, ta có:
g'(x) = cos(x) - sin(x)
Vậy, đạo hàm của hàm số là cos(x) - sin(x).
Câu c yêu cầu giải một bài toán ứng dụng liên quan đến vận tốc. Giả sử một vật chuyển động với vận tốc v(t) = t2 + 2t (m/s). Để tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây, ta cần tính đạo hàm của vận tốc theo thời gian.
a(t) = v'(t) = 2t + 2
Thay t = 3 vào a(t), ta được:
a(3) = 2(3) + 2 = 8 (m/s2)
Vậy, gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là 8 m/s2.
Để giải các bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, bạn nên:
Ngoài sách bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:
Bài 55 trang 117 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.
