Giải bài 27 trang 51 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 51 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật nhanh chóng nhất để hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = - 2), ({u_{n + 1}} = frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}) với (n in {mathbb{N}^*}).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.
b) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).
c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_n}}}\), từ đó chứng minh được \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = \frac{1}{2}\) và \(d = - 1\).
b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\), từ đó ta tìm được công thức của \({v_n}\) theo \(n\). Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên ta sẽ tìm được công thức của \({u_n}\) theo \(n\).
c) Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(S = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}} - 20\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{{u_n} + 1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\)
\( \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1\).
Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = - 1\).
Số hạng đầu của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\)
b) Vì \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{2}\) và công sai \(d = - 1\), nên ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{{3 - 2n}}{2}\).
Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(\frac{{3 - 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 - 2n}}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\)
c) Ta có \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên:
\(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}} = \left( {{v_1} - 1} \right) + \left( {{v_2} - 1} \right) + \left( {{v_3} - 1} \right) + ... + \left( {{v_{20}} - 1} \right)\)
\( = \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}}} \right) - 20 = \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} - 20 = 10\left( {2.\frac{1}{2} - 19} \right) - 2 = - 200\)
Giải bài 27 trang 51 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng trong hình học không gian.
Nội dung chi tiết bài 27
Bài 27 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, yêu cầu học sinh:
- Tính tích vô hướng của hai vectơ.
- Xác định góc giữa hai vectơ.
- Chứng minh các đẳng thức vectơ.
- Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến tích vô hướng.
Phương pháp giải bài tập tích vô hướng
Để giải quyết hiệu quả các bài tập về tích vô hướng, học sinh cần nắm vững các công thức và tính chất sau:
- Công thức tính tích vô hướng:a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
- Tính chất giao hoán:a.b = b.a
- Tính chất phân phối:a.(b + c) = a.b + a.c
- Tích vô hướng bằng 0 khi hai vectơ vuông góc:a.b = 0 ⇔ a ⊥ b
Hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập
Bài 27.1
Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính tích vô hướng của a và b.
Giải:
a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Vậy, tích vô hướng của a và b là 0.
Bài 27.2
Cho hai vectơ a = (2; -1; 1) và b = (1; 0; -1). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Giải:
a.b = (2)(1) + (-1)(0) + (1)(-1) = 2 + 0 - 1 = 1
|a| = √(22 + (-1)2 + 12) = √6
|b| = √(12 + 02 + (-1)2) = √2
cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = 1 / (√6 * √2) = 1 / √12 = √3 / 6
θ = arccos(√3 / 6) ≈ 73.22°
Vậy, góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 73.22°.
Bài 27.3
Chứng minh rằng nếu a + b = 0 thì a = -b.
Giải:
Nếu a + b = 0, thì a = -b (theo tính chất của vectơ).
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra lại các phép tính để tránh sai sót.
- Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán nhanh chóng và chính xác.
- Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.
- Luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
Kết luận
Bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
