THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 55 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là\({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\)
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là\({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Tính \({u_1}\), \({u_2}\) và \({u_3}\).
b) Tìm công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
c) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta có \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.
Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = {u_1}\)
Với \(n = 2\) ta có \({S_2} = {u_1} + {u_2}\)
Với \(n = 3\) ta có \({S_3} = {u_1} + {u_2} + {u_3}\)
Giải hệ phương trình, ta tính được \({u_1}\), \({u_2}\) và \({u_3}\).
b) Sử dụng công thức \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}}\)
c) Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng, từ kết quả câu b, ta cần chứng minh \({u_n} - {u_{n - 1}}\) là hằng số.
Lời giải chi tiết
a, Ta có
\({S_1} = {u_1} \Rightarrow {u_1} = \frac{{1\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 3\)
\({S_2} = {u_1} + {u_2} = {S_1} + {u_2} \Rightarrow {u_2} = {S_2} - {S_1} = \frac{{2\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} - \frac{{1\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 8\)
\({S_3} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {S_2} + {u_3} \Rightarrow {u_3} = {S_3} - {S_2} = \frac{{3\left( { - 1 - 5.3} \right)}}{3} - \frac{{2\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} = - 13\)
Vậy ba số hạng đầu của dãy số là \( - 3\), \( - 8\), \( - 13\).
b) Ta có
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}\), \({S_{n - 1}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}}\)
\( \Rightarrow {u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left[ { - 1 - 5\left( {n - 1} \right)} \right]}}{2} = \frac{{n - 5{n^2}}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {4 - 5n} \right)}}{2}\)
\( = \frac{{n - 5{n^2} - \left( { - 4 + 5{n^2} + 9n} \right)}}{2} = \frac{{4 - 10n}}{2} = 2 - 5n\)
c) Xét \({u_n} - {u_{n - 1}} = \left( {2 - 5n} \right) - \left[ {2 - 5\left( {n - 1} \right)} \right] = \left( {2 - 5n} \right) - \left( {2 - 5n + 5} \right) = 5\).
Do \({u_n} - {u_{n - 1}} = 5\) là hằng số, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.
Bài 55 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép biến đổi lượng giác cơ bản để chứng minh các đẳng thức lượng giác.
Bài tập 55 bao gồm một số câu hỏi yêu cầu chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và các phương pháp chứng minh đẳng thức lượng giác. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:
Câu a: Chứng minh sin2x + cos2x = 1
Lời giải: Theo định nghĩa của sin và cos trong tam giác vuông, ta có:
sin x = đối / huyền
cos x = kề / huyền
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông, ta có: đối2 + kề2 = huyền2
Chia cả hai vế cho huyền2, ta được: (đối2 / huyền2) + (kề2 / huyền2) = 1
Hay sin2x + cos2x = 1
Câu b: Chứng minh tan x = sin x / cos x
Lời giải: Theo định nghĩa của tan x, ta có:
tan x = đối / kề
Mà sin x = đối / huyền và cos x = kề / huyền
Do đó, tan x = (đối / huyền) / (kề / huyền) = sin x / cos x
Câu c: Chứng minh cot x = cos x / sin x
Lời giải: Theo định nghĩa của cot x, ta có:
cot x = kề / đối
Mà sin x = đối / huyền và cos x = kề / huyền
Do đó, cot x = (kề / huyền) / (đối / huyền) = cos x / sin x
Câu d: Chứng minh 1 + tan2x = 1/cos2x
Lời giải: Ta có:
1 + tan2x = 1 + (sin x / cos x)2 = 1 + sin2x / cos2x = (cos2x + sin2x) / cos2x = 1 / cos2x
Câu e: Chứng minh 1 + cot2x = 1/sin2x
Lời giải: Ta có:
1 + cot2x = 1 + (cos x / sin x)2 = 1 + cos2x / sin2x = (sin2x + cos2x) / sin2x = 1 / sin2x
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều hoặc các tài liệu tham khảo khác.
Bài 55 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phép biến đổi lượng giác cơ bản. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này.
