THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 49 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những phương pháp giải toán tối ưu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\)
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = 2a\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
b) Giữa hai đường thẳng \(SO\) và \(CD\).
c) Từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
d*) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng \(AO \bot \left( {SBD} \right)\), từ đó suy ra rằng khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(AO\).
b) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(CD\). Chứng minh rằng \(OM\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\), từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(OM\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SM\). Chứng minh rằng \(H\) cũng là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( {SCD} \right)\), từ đó suy ra khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(OH\).
d) Gọi \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\). Chỉ ra rằng \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\) và \(SD \subset \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và bằng \(AG\). Sử dụng định lí Thales để tính \(AG\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(ABCD\) là hình vuông, nên \(AO \bot BD\). Hơn nữa, do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SO \bot AO\). Như vậy, do \(AO \bot BD\), \(SO \bot AO\) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\). Điều này có nghĩa \(O\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SBD} \right)\). Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\) là đoạn thẳng \(AO\).
Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
b) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(CD\). Do \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), nên ta suy ra \(OM \bot CD\) và \(OM = \frac{a}{2}\).
Do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), ta suy ra \(SO \bot OM\).
Như vậy, do \(OM \bot CD\), \(SO \bot OM\), nên \(OM\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) là đoạn thẳng \(OM\).
Do \(OM = \frac{a}{2}\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) là \(\frac{a}{2}\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SM\). Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SO \bot CD\), mà \(OM \bot CD\) nên \(\left( {SOM} \right) \bot CD\), điều này suy ra \(OH \bot CD\). Mà lại có \(OH \bot SM\) nên \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).
Vậy \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( {SCD} \right)\), tức là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SCD} \right)\) là đoạn thẳng \(OH\).
Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) nên \(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{7{a^2}}}{2}\).
Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\), nên ta có:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{2}{{7{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}} \Rightarrow OH = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{{30}}} = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\).
d) Gọi \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\).
Ta có \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\), mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\), nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(SD\) cũng bằng khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và bằng khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\). Do \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\), nên khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(AG\).
Do \(OH \bot \left( {SCD} \right)\), \(AG \bot \left( {SCD} \right)\) nên \(OH\parallel AG\).
Tam giác \(ACG\) có \(OH\parallel AG\), nên theo định lí Thales ta có \(\frac{{OH}}{{AG}} = \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(AG = 2OH\). Mà \(OH = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\) nên \(AG = \frac{{a\sqrt {210} }}{{15}}\).
Bài 49 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, và các tính chất liên quan để giải quyết các bài toán về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 49, cần xác định các yếu tố như:
Để giải quyết bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, có một số phương pháp thường được sử dụng:
(Giả sử đề bài cụ thể của bài 49 là: Cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: x = t, y = t+1, z = t+2. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng d.)
Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng d.
Gọi H(t; t+1; t+2) là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó, vectơ AH vuông góc với vectơ chỉ phương của d.
Vectơ AH = (t-1; t+1-2; t+2-3) = (t-1; t-1; t-1)
Vectơ chỉ phương của d là (1; 1; 1)
Vì AH vuông góc với d, ta có: (t-1; t-1; t-1) . (1; 1; 1) = 0
=> t-1 + t-1 + t-1 = 0
=> 3t - 3 = 0
=> t = 1
Vậy H(1; 2; 3). (Trong trường hợp này, A trùng với H, nghĩa là A nằm trên đường thẳng d. Bài toán có thể có yêu cầu khác.)
Bước 2: Tìm tọa độ điểm A'.
Vì H là trung điểm của AA', ta có:
xH = (xA + xA') / 2
yH = (yA + yA') / 2
zH = (zA + zA') / 2
=> 1 = (1 + xA') / 2 => xA' = 1
=> 2 = (2 + yA') / 2 => yA' = 2
=> 3 = (3 + zA') / 2 => zA' = 3
Vậy A'(1; 2; 3). (Trong trường hợp này, A' trùng với A, vì A nằm trên đường thẳng d.)
Để củng cố kiến thức, bạn có thể giải thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, bạn có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của đường thẳng và mặt phẳng trong thực tế.
Bài 49 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải bài tập và tự tin hơn trong các kỳ thi.
