Bài tập cuối chương III

Bài tập cuối chương III - SBT Toán 11 Cánh Diều: Tổng quan và hướng dẫn giải

Chương III trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều Tập 1 xoay quanh hai chủ đề chính: giới hạn và hàm số liên tục. Đây là những khái niệm nền tảng, đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các kiến thức toán học phức tạp hơn ở các lớp trên. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp giải bài tập liên quan đến giới hạn và hàm số liên tục là vô cùng cần thiết.

I. Giới hạn

Phần giới hạn bao gồm các bài tập về giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn vô cực, và các ứng dụng của giới hạn trong việc tính đạo hàm. Để giải các bài tập về giới hạn, học sinh cần nắm vững các định nghĩa sau:

Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm: lim_x→a f(x) = L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
Giới hạn vô cực: lim_x→a f(x) = ∞ nếu với mọi M > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì f(x) > M.

Các phương pháp thường được sử dụng để tính giới hạn bao gồm:

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng các công thức phân tích thành nhân tử để đơn giản hóa biểu thức.
Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp để khử dạng vô định.
Sử dụng các giới hạn đặc biệt: lim_x→0 sinx/x = 1, lim_x→0 (1 - cosx)/x = 0, v.v.

II. Hàm số liên tục

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

Hàm số f(x) xác định tại x₀.
Hàm số f(x) có giới hạn tại x₀.
Giới hạn của hàm số tại x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀: lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).

Các tính chất của hàm số liên tục bao gồm:

Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu khác 0) là một hàm số liên tục.
Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính giới hạn lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2).

Giải: Ta có thể phân tích thành nhân tử: (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2. Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

Giải: Ta cần kiểm tra ba điều kiện của tính liên tục. f(1) = 1² = 1. lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1. lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1. Vì f(1) = lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Lời khuyên khi giải bài tập

Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến giới hạn và hàm số liên tục.
Lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập cuối chương III - SBT Toán 11 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!