THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 56 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để đạt kết quả tốt nhất trong quá trình học tập.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\), \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\) với \(n \ge 2\).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\), \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\) với \(n \ge 2\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng.
c) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\) vào biểu thức \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\)để tính \({u_3},{u_4},{u_5}\).
b) Do \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {v_n} = {v_{n - 1}} + 2\). Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng.
c) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Ta có \({v_1} = {u_2} - {u_1}\), \({v_2} = {u_3} - {u_2}\), \({v_3} = {u_4} - {u_3}\),…, \({v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\)
Do đó \({v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{n - 1}} = - {u_1} + {u_n}\)
Từ đó ta tính được công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có
\({u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 2 = 2.2 - 1 + 2 = 5\)
\({u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 2 = 2.5 - 2 + 2 = 10\)
\({u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 2 = 2.10 - 5 + 2 = 17\)
Vậy năm số hạng đầu của dãy số là 1, 2, 5, 10, 17.
b) Do \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2\)
Mà \({v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\), ta suy ra \({v_n} = {v_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {v_n} - {v_{n - 1}} = 2\)
Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({v_n} - {v_{n - 1}} = 2\) là một hằng số, nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 2 - 1 = 1\), công sai \(d = 2\).
c) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng, nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n - 1\)
Ta có \({v_1} = {u_2} - {u_1}\), \({v_2} = {u_3} - {u_2}\), \({v_3} = {u_4} - {u_3}\),…, \({v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\)
Do đó \({v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{n - 1}} = - {u_1} + {u_n}\)
Suy ra \({u_n} = \frac{{\left( {2v{\rm{\_1 + }}\left( {n - 2} \right)d} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1\).
Bài 56 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm hợp. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Bài tập 56 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải quyết hiệu quả bài tập 56 trang 57, học sinh cần:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1
Giải:
f'(x) = (x3)' + (2x2)' - (5x)' + (1)'
f'(x) = 3x2 + 4x - 5 + 0
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, kỹ thuật. Việc hiểu rõ về đạo hàm sẽ giúp học sinh có nền tảng vững chắc để học tập các môn học liên quan.
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu rõ hơn về đạo hàm:
Bài 56 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng để học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt nhất.
