THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 50 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\)
Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AA' = 2a\), \(AC = a\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\).
b) Giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {CDD'C'} \right)\).
c*) Giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(A'C\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Ta chứng minh \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\), từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(AH\).
b) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(DC\). Do \(\left( {ABB'A'} \right)\parallel \left( {DCC'D'} \right)\), nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\). Ta chứng minh \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\), từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(AI\).
c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(E\) là hình chiếu của \(O\) trên \(A'C\). Ta chứng minh \(OE\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(BD\) và \(A'C\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(OE\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tam giác \(ABC\) đều (\(AB = BC = AC = a\)) nên ta suy ra \(AH \bot BC\).
Do \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\), ta suy ra \(BB' \bot AH\).
Như vậy, do \(AH \bot BC\), \(BB' \bot AH\) nên \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\), điều này có nghĩa \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\). Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {BCC'B'} \right)\) là đoạn thẳng \(AH\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), đường cao \(AH\) nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {BCC'B'} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp, nên \(\left( {ABB'A'} \right)\parallel \left( {DCC'D'} \right)\). Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng này cũng bằng khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(DC\). Tam giác \(ADC\) có \(AB = DC = AC = a\) nên nó là tam giác đều. Suy ra \(AI \bot DC\) và \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Do \(DD' \bot \left( {ABCD} \right)\), ta suy ra \(DD' \bot AI\). Như vậy, do \(AI \bot DC\), \(DD' \bot AI\) nên \(AI \bot \left( {DCC'D'} \right)\). Điều này có nghĩa \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\). Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {DCC'D'} \right)\), bằng khoảng cách từ \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\), là đoạn thẳng \(AI\), và bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) và \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{2}\)
Do \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), nên \(AA' \bot BD\). Như vậy, do \(AC \bot BD\), \(AA' \bot BD\) nên \(\left( {AA'C} \right) \bot BD\).
Gọi \(E\) là hình chiếu của \(O\) trên \(A'C\). Vì \(OE \subset \left( {AA'C} \right)\), \(\left( {AA'C} \right) \bot BD\) nên \(OE \bot BD\). Như vậy \(OE\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(BD\) và \(A'C\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa \(BD\) và \(A'C\) là đoạn thẳng \(OE\).
Tam giác \(CEO\) và \(CAA'\) có chung góc \(C\) và có góc vuông \(\widehat {CEO} = \widehat {CAA'}\) nên chúng đồng dạng với nhau. Suy ra \(\frac{{OE}}{{AA'}} = \frac{{CO}}{{CA'}} \Rightarrow OE = \frac{{AA'.CO}}{{CA'}}\)
Tam giác \(AA'C\) vuông tại \(A\), nên \(A'C = \sqrt {A'{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Do đó \(OE = \frac{{AA'.OC}}{{A'C}} = \frac{{2a.\frac{a}{2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
Bài 50 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về phép vị tự. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép vị tự để giải quyết các bài toán hình học cụ thể, thường liên quan đến việc xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép vị tự. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của phép vị tự và biết cách xác định tâm vị tự, tỉ số vị tự.
Bài 50 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết bài tập về phép vị tự, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài toán: Cho điểm A(1; 2) và phép vị tự V(O; -2) (O là gốc tọa độ). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép vị tự V.
Giải:
Gọi A'(x'; y') là ảnh của A qua phép vị tự V. Theo công thức, ta có:
Vậy A'(-2; -4).
Khi giải bài tập về phép vị tự, bạn cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức về phép vị tự, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 50 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về phép vị tự và ứng dụng của nó trong hình học. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
