Giải bài 60 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(B'C'\). Chứng minh rằng \(AM\parallel \left( {A'NC} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 60 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều 1

Để chứng minh \(AM\parallel \left( {A'NC} \right)\), ta cần chứng minh rằng \(AM\) song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng \(\left( {A'NC} \right)\).

Lời giải chi tiết

Giải bài 60 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều 2

Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là trung điểm của \(B'C'\) nên ta suy ra \(MN = BB'\) và \(MN\parallel BB'\). Suy ra \(MN\parallel AA'\) và \(MN = AA'\). Như vậy tứ giác \(AMNA'\) là hình bình hành, từ đó \(AM\parallel A'N\).

Mà \(A'N \subset \left( {A'NC} \right)\), ta suy ra \(AM\parallel \left( {A'NC} \right)\).

Bài toán được chứng minh.

Giải bài 60 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan

Bài 60 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Nội dung bài tập

Bài 60 thường bao gồm các dạng bài tập sau:

Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng (song song, vuông góc, cắt nhau).
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước.

Phương pháp giải bài tập

Để giải quyết bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ song song với đường thẳng đó.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mặt phẳng đó.
Phương trình đường thẳng: Có nhiều dạng phương trình đường thẳng khác nhau, tùy thuộc vào thông tin đã biết (điểm đi qua, vectơ chỉ phương, hai điểm...).
Phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Điều kiện song song, vuông góc, cắt nhau giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cần nắm vững các điều kiện này để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết bài 60 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều

(Giả sử bài 60 có nội dung cụ thể như sau: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Hãy xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). )

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).

Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0.

Vì tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khác 0, nên đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau.

Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác:

Ví dụ: Cho điểm A(1, 2, 3) và mặt phẳng (Q): x - y + 2z - 1 = 0. Hãy tìm hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (Q).

Giải:

Gọi A' là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (Q). Khi đó, đường thẳng AA' vuông góc với mặt phẳng (Q).

Phương trình đường thẳng AA' có dạng:

x = 1 + t

y = 2 - t

z = 3 + 2t

Vì A' thuộc mặt phẳng (Q), nên tọa độ của A' thỏa mãn phương trình mặt phẳng:

(1 + t) - (2 - t) + 2(3 + 2t) - 1 = 0

1 + t - 2 + t + 6 + 4t - 1 = 0

6t + 4 = 0

t = -2/3

Thay t = -2/3 vào phương trình đường thẳng AA', ta được tọa độ của A':

x = 1 - 2/3 = 1/3

y = 2 + 2/3 = 8/3

z = 3 - 4/3 = 5/3

Vậy, hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (Q) là A'(1/3, 8/3, 5/3).

Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, bạn có thể tự giải thêm các bài tập sau trong Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều:

Bài 61 trang 118
Bài 62 trang 119
Bài 63 trang 119

Kết luận

Bài 60 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng. Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.