Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

I. Khái niệm cơ bản

Trong không gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Để xác định góc này, ta cần hiểu rõ về hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng và cách tính toán góc giữa đường thẳng và hình chiếu.

Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng chung đó, nằm trong hai nửa mặt phẳng.

II. Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Sử dụng định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để xác định hình chiếu.
Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu: Sử dụng hàm sin, cosin, tang để tính góc.

Công thức tính góc α giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

sin(α) = d(A, (P)) / AD

Trong đó:

A là một điểm bất kỳ trên đường thẳng d.
d(A, (P)) là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
AD là độ dài đoạn thẳng nối điểm A với hình chiếu D của A lên mặt phẳng (P).

III. Phương pháp tính góc nhị diện

Xác định đường thẳng vuông góc với giao tuyến: Tìm hai đường thẳng, mỗi đường thẳng nằm trong một nửa mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Tính góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Công thức tính góc nhị diện α:

cos(α) = (a.b) / (|a||b|)

Trong đó:

a và b là hai vectơ chỉ hướng của hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
SC là đường chéo của hình vuông SACD.
SO là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Góc giữa SC và (ABCD) là góc CSO.
tan(CSO) = SO/OC = SA/OC = SA/a/2
=> Góc CSO = arctan(SA/a/2)

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tính góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) biết AB = 5, khoảng cách từ A đến (Q) là 3, khoảng cách từ B đến (P) là 4.

Giải:

Bài toán này đòi hỏi việc sử dụng các công thức hình học không gian và kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải quyết.

V. Lưu ý quan trọng

Luôn vẽ hình để hình dung rõ bài toán.
Sử dụng các định lý và công thức một cách chính xác.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập minh họa trên, bạn đã nắm vững nội dung Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - SBT Toán 11 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!