THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 55 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(CD\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) khác nhau
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(CD\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) khác nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng \(AM\) và \(BN\) không cắt nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh bằng phương pháp “phản chứng”: Giả sử \(AM\) cắt \(BN\), ta sẽ chứng minh được \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) đồng phẳng, và đây là điều vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(AM\) cắt \(BN\). Như vậy tồn tại mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(AM\) và \(BN\).
Do \(M\) và \(N\) cùng nằm trên \(\left( P \right)\), ta suy ra đường thẳng \(MN\) cũng nằm trên \(\left( P \right)\). Từ đó \(C\) và \(D\) cũng thuộc \(\left( P \right)\).
Như vậy \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Điều này là vô lí, do với mọi tứ diện \(ABCD\) thì 4 điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) luôn không đồng phẳng.
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy hai đường thẳng \(AM\) và \(BN\) không cắt nhau.
Bài 55 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 55 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải câu a, ta cần tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x tại điểm x = 1. Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Thay x = 1 vào f'(x), ta được:
f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 1 là -1.
Để giải câu b, ta cần tìm đạo hàm của hàm số g(x) = (x^2 + 1)/(x - 2). Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta có:
g'(x) = [(x^2 + 1)'(x - 2) - (x^2 + 1)(x - 2)'] / (x - 2)^2
g'(x) = [2x(x - 2) - (x^2 + 1)(1)] / (x - 2)^2
g'(x) = (2x^2 - 4x - x^2 - 1) / (x - 2)^2
g'(x) = (x^2 - 4x - 1) / (x - 2)^2
Vậy, đạo hàm của hàm số g(x) là (x^2 - 4x - 1) / (x - 2)^2.
Câu c yêu cầu vận dụng đạo hàm để giải bài toán về vận tốc. Giả sử một vật chuyển động với phương trình s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t, trong đó s(t) là quãng đường đi được sau thời gian t. Vận tốc của vật tại thời điểm t là đạo hàm của s(t) theo t:
v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9
Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc cực đại, ta cần tìm điểm cực trị của hàm v(t). Tính đạo hàm bậc hai của s(t):
a(t) = v'(t) = 6t - 12
Giải phương trình a(t) = 0, ta được t = 2. Kiểm tra dấu của a'(t) = 6 > 0, suy ra t = 2 là điểm cực tiểu của v(t). Do đó, vận tốc cực đại không xảy ra tại t = 2.
Tuy nhiên, ta có thể tìm vận tốc tại các thời điểm khác để xác định vận tốc cực đại. Ví dụ, tại t = 0, v(0) = 9; tại t = 1, v(1) = 0; tại t = 3, v(3) = 0; tại t = 4, v(4) = 9.
Bài 55 trang 118 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.
