Giải bài 11 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 11 trang 46 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 11 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:
a) \({u_n} = 2n + 3\)
b) \({u_n} = {3^n} - n\)
c) \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\)
d) \({u_n} = \sin n\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các cách xác định dãy số tăng hay giảm: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Cách 1: Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(H < 0\), dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng khi \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Cách 2: Nếu \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(T < 1\), dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) khi \(T > 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hiệu:
\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2\left( {n + 1} \right) + 3} \right] - \left( {2n + 3} \right) = \left( {2n + 5} \right) - \left( {2n + 3} \right) = 2 > 0\)
Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 3\) là dãy số tăng.
b) Xét hiệu:
\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {{3^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right)} \right] - \left( {{3^n} - n} \right) = \left( {{3^{n + 1}} - {3^n}} \right) - \left( {n + 1} \right) + n\)
\( = {3^n}\left( {3 - 1} \right) - 1 = {2.3^n} - 1\).
Ta thấy \({2.3^n} - 1 \ge {2.3^1} - 1 = 4 > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3^n} - n\) là dãy số tăng.
c) Ta nhận thấy với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} > 0\).
Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\frac{{{2^n}}}{{\sqrt n }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{n + 1}}{n}} = \sqrt {\frac{{n + 1}}{{4n}}} \).
Ta thấy \(3n - 1 > 0 \Rightarrow 4n - 1 > n \Rightarrow 4n > n + 1 \Rightarrow \frac{{n + 1}}{{4n}} < 1 \Rightarrow \sqrt {\frac{{n + 1}}{{4n}}} < 1\), suy ra \(T < 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\) là dãy số giảm.
d) Xét hiệu:
\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \sin \left( {n + 1} \right) - \sin n = 2\cos \frac{{n + 1 + n}}{2}\sin \frac{{n + 1 - n}}{2} = 2\cos \frac{{2n + 1}}{2}\sin \frac{1}{2}\)
Với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta không thể xác định dấu của \(\cos \frac{{2n + 1}}{2}\), tức là ta không thể kết luận \(H > 0\) hay \(H < 0\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin n\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.
Giải bài 11 trang 46 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 11 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và tính chất của tích vô hướng.
Nội dung chi tiết bài 11
Bài 11 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, yêu cầu học sinh:
- Tính tích vô hướng của hai vectơ cho trước.
- Xác định góc giữa hai vectơ.
- Chứng minh các đẳng thức liên quan đến tích vô hướng.
- Giải các bài toán ứng dụng thực tế.
Phương pháp giải bài tập tích vô hướng
Để giải quyết hiệu quả các bài tập về tích vô hướng, học sinh cần nắm vững các công thức và tính chất sau:
- Công thức tính tích vô hướng:a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
- Tính chất của tích vô hướng:
- a.b = b.a
- a.(b+c) = a.b + a.c
- k(a.b) = (ka).b = a.(kb), với k là một số thực.
- Điều kiện vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a.b = 0.
Hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập trong bài 11 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều:
Bài 11.1
Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a.b.
Giải:
a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Bài 11.2
Cho hai vectơ a = (2; -1; 1) và b = (1; 0; -1). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Giải:
Trước tiên, tính tích vô hướng a.b = (2)(1) + (-1)(0) + (1)(-1) = 2 + 0 - 1 = 1.
Tiếp theo, tính độ dài của hai vectơ:
|a| = √(2² + (-1)² + 1²) = √6
|b| = √(1² + 0² + (-1)²) = √2
Áp dụng công thức tính góc:
cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = 1 / (√6 * √2) = 1 / √12 = √3 / 6
θ = arccos(√3 / 6) ≈ 73.22°
Lưu ý khi giải bài tập
Trong quá trình giải bài tập về tích vô hướng, học sinh cần chú ý:
- Kiểm tra kỹ các công thức và tính chất liên quan.
- Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán chính xác.
- Vẽ hình minh họa để hiểu rõ bài toán.
- Đọc kỹ đề bài và xác định đúng yêu cầu.
Tổng kết
Bài 11 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
