THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 6 trang 95 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều trên website Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan đến nội dung bài học.
Montoan.com.vn tự hào là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải, lý thuyết và bài tập để hỗ trợ các em học tập hiệu quả.
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên các cạnh \(AC,{\rm{ }}CD\) lần lượt lấy các điểm \(E,{\rm{ }}F\) sao cho \(CE = 3EA,{\rm{ }}DF = 2FC\).
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên các cạnh \(AC,{\rm{ }}CD\) lần lượt lấy các điểm \(E,{\rm{ }}F\) sao cho \(CE = 3EA,{\rm{ }}DF = 2FC\).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( {ACD} \right)\), \(\left( {BCD} \right)\).
b) Xác định giao điểm \(K\) của đường thẳng \(AD\) với mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\).
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.
b) Để xác định giao điểm của đường thẳng \(AD\) với mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\), cần chọn 1 đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\), và tìm giao điểm của đường thẳng đó với đường thẳng \(AD\).
c) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết
a)
Giao tuyến của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\):
Ta có \(B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).
Mặt khác, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {BEF} \right)\\E \in AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).
Như vậy giao tuyển của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là đường thẳng \(BE\).
Giao tuyến của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\):
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {BEF} \right)\\F \in CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).
Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {BEF} \right)\\E \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).
Như vậy giao tuyển của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng \(EF\).
Giao tuyến của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\):
Ta có \(B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)
Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {BEF} \right)\\F \in CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)
Như vậy giao tuyển của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(BF\).
b) Trên mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\), lấy \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\).
Ta có \(\left\{ K \right\} = AD \cap EF\), mà \(EF \subset \left( {BEF} \right)\).
Suy ra \(\left\{ K \right\} = AD \cap \left( {BEF} \right)\), tức \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(\left( {BEF} \right)\).
c) Ta có \(B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABD} \right)\).
Theo câu b, ta có \(K \in AD \cap \left( {BEF} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in AD\\K \in \left( {BEF} \right)\end{array} \right.\)
Mà \(AD \in \left( {ABD} \right)\) nên ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}K \in \left( {ABD} \right)\\K \in \left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {BEF} \right)\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) là đường thẳng \(BK\).
Bài 6 trang 95 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các khái niệm và tính chất của các phép biến hình là vô cùng quan trọng để giải quyết bài toán này một cách chính xác và hiệu quả.
Bài 6 bao gồm các dạng bài tập sau:
Bài 6.1 yêu cầu xác định ảnh của điểm A(1; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Để giải bài này, ta sử dụng công thức:
A'(x' ; y') = A(x; y) + v(a; b) = (x + a; y + b)
Áp dụng công thức, ta có:
A'(1 + 3; 2 - 1) = A'(4; 1)
Vậy, ảnh của điểm A(1; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1) là A'(4; 1).
Bài 6.2 yêu cầu tìm tâm I của phép quay Q(O; 90°) biến điểm A(1; 0) thành điểm A'(-1; 1). Để giải bài này, ta cần tìm tọa độ của tâm I sao cho OI = IA và góc OIA bằng 90°.
Gọi I(x; y) là tâm của phép quay. Ta có:
Vì OI = IA, ta có:
x² + y² = (x - 1)² + y²
x² = x² - 2x + 1
2x = 1
x = 1/2
Tiếp theo, ta xét góc OIA bằng 90°. Ta có:
Vector OA = (1; 0)
Vector IA = (1/2 - 1; y - 0) = (-1/2; y)
Tích vô hướng của OA và IA bằng 0:
OA.IA = 1*(-1/2) + 0*y = -1/2 ≠ 0
Do đó, cần xem xét lại cách tiếp cận. Việc tìm tâm quay đòi hỏi kiến thức về vector chỉ phương và phương trình đường thẳng. Lời giải chi tiết sẽ cần sử dụng các công cụ hình học để xác định chính xác tâm quay.
Bài 6.3 yêu cầu chứng minh tam giác ABC là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng tâm I. Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng IA = IB = IC và IA' = IB' = IC'.
Việc chứng minh này đòi hỏi phải biết tọa độ của các điểm A, B, C, A', B', C' và tâm I. Sau đó, ta tính khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm I và so sánh chúng.
Bài 6 trang 95 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng để rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức về phép biến hình. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.
