Giải bài 25 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 25 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 25 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho (sin a = frac{2}{3}) với (frac{pi }{2} < a < pi ). Tính:
Đề bài
Cho \(\sin a = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính:
a) \(\cos a\), \(\tan a\)
b) \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\), \(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\), \(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
c) \(\sin 2a\), \(\cos 2a\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\) và điều kiện \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \)để tính \(\cos a\).
Sử dụng công thức \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\) để tính \(\tan a\).
b) Sử dụng kết quả câu a và các công thức sau:
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\)
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\)
c) Sử dụng các công thức sau: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\), \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Rightarrow {\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos a = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Do \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \Rightarrow \cos a < 0 \Rightarrow \cos a = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{2}{3} :\frac{{ - \sqrt 5 }}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}\)
b) Ta có:
\(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4} = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{6}\)
\(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right) = \cos a\cos \frac{{5\pi }}{6} + \sin a\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{ - \sqrt 5 }}{3}.\frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{2 + \sqrt {15} }}{6}\)
\(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{{2\pi }}{3}}}{{1 - \tan a\tan \frac{{2\pi }}{3}}} = \frac{{\frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5} + \left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}.\left( { - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{8\sqrt 5 + 9\sqrt 3 }}{7}\)
c) \(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.\frac{2}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\\\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\end{array}\)
Giải bài 25 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 25 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về Vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và tính chất của tích vô hướng.
Nội dung chi tiết bài 25
Bài 25 bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Tính góc giữa hai vectơ.
- Dạng 2: Tính độ dài của vectơ.
- Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức liên quan đến tích vô hướng.
- Dạng 4: Ứng dụng tích vô hướng vào việc giải các bài toán hình học.
Lời giải chi tiết từng bài tập
Bài 25.1
Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính góc θ giữa hai vectơ a và b.
Hướng dẫn: Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: cos θ = (a.b) / (|a||b|)
Giải:
- Tính tích vô hướng a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
- Tính độ dài của vectơ a: |a| = √(1² + 2² + 3²) = √14
- Tính độ dài của vectơ b: |b| = √((-2)² + 1² + 0²) = √5
- Tính cosin góc θ: cos θ = 0 / (√14 * √5) = 0
- Suy ra θ = 90°
Bài 25.2
Cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1). Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn: Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ: |BC| = √((xB - xC)² + (yB - yC)² + (zB - zC)²)
Giải:
Vectơ BC = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1)
Độ dài cạnh BC: |BC| = √(0² + 1² + (-1)²) = √2
Lưu ý khi giải bài tập về tích vô hướng
- Nắm vững định nghĩa và các tính chất của tích vô hướng.
- Sử dụng đúng công thức tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.
- Chú ý đến dấu của tích vô hướng để xác định mối quan hệ giữa hai vectơ (cùng chiều, ngược chiều, vuông góc).
- Rèn luyện kỹ năng giải các bài tập ứng dụng tích vô hướng vào các bài toán hình học.
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa Toán 11 - Cánh Diều
Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Các trang web học Toán online uy tín.
Kết luận
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên, các bạn học sinh đã có thể tự tin giải quyết bài 25 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Chúc các bạn học tập tốt!
