THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 44 trang 113 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Đề bài
Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trước hết, cần chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Áp dụng kết quả này vào hình hộp.
Lời giải chi tiết
Trước hết, ta sẽ chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Xét hình bình hành \(MNPQ\) như hình dưới đây. Ta cần chứng minh rằng \(M{P^2} + N{Q^2} = M{N^2} + N{P^2} + P{Q^2} + Q{M^2}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MPQ\) và \(NPQ\), ta có:
\(M{P^2} = Q{M^2} + Q{P^2} - 2QM.QP.\cos MQP\)
\(Q{N^2} = P{Q^2} + P{N^2} - 2PN.PQ.\cos QPN\).
Do \(QM = PN\) và \(\cos MQP = - \cos QPN\) (do \(\widehat {MQP}\) và \(\widehat {QPN}\) bù nhau), nên ta có
\(M{P^2} + N{Q^2} = M{Q^2} + 2P{Q^2} + P{N^2} - 2QM.QP\cos MQP + 2QM.QP\cos MQP\)
\( \Rightarrow M{P^2} + N{Q^2} = 2\left( {M{N^2} + N{P^2}} \right)\).
Ta có điều phải chứng minh.
Quay trở lại bài toán, ta xét hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Áp dụng kết quả vừa chứng minh được ở trên với hai hình bình hành \(ACC'A'\), \(DBB'D'\) và \(A'B'C'D'\) ta có:
\(AC{'^2} + A'{C^2} = 2\left( {AA{'^2} + A'C{'^2}} \right)\) ; \(B'{D^2} + BD{'^2} = 2\left( {BB{'^2} + B'D{'^2}} \right)\);
\(A'C{'^2} + B'D{'^2} = 2\left( {A'B{'^2} + A'D{'^2}} \right)\).
Như vậy
\(AC{'^2} + A'{C^2} + BD{'^2} + B'{D^2} = 2\left( {AA{'^2} + A'C{'^2} + BB{'^2} + B'D{'^2}} \right)\)
\( = 4AA{'^2} + 2\left( {A'C{'^2} + B'D{'^2}} \right) = 4AA{'^2} + 4A'B{'^2} + 4A'D{'^2}\).
Do \(4AA{'^2} = AA{'^2} + BB{'^2} + CC{'^2} + DD{'^2}\), \(4A'B{'^2} = A'B{'^2} + A{B^2} + C'D{'^2} + C{D^2}\), \(4A'D{'^2} = A'D{'^2} + A{D^2} + B'C{'^2} + B{C^2}\), ta kết luận rằng trong một hình hộp, tổng bình phương tất cả các đường chéo bằng tổng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
Bài toán được chứng minh.
Bài 44 trang 113 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường tập trung vào việc xác định mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, sử dụng các định lý và tính chất đã học để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Bài 44 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết bài 44 trang 113 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi của bài 44. Ví dụ:)
Câu a: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) thì d vuông góc với (P).
Lời giải: Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nếu một đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng.
Để củng cố kiến thức về bài 44 trang 113 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, học sinh cần chú ý:
Bài 44 trang 113 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
