THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 23 trang 74 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
: Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d\) song song với đường thẳng \(y = 5x - 2;\)
b) \(d\) vuông góc với đường thẳng \(y = - 20x + 1;\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = \frac{{x + 2 - \left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\)
a)Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y = 5x - 2\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k = 5.\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị.
\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 5 \Leftrightarrow \frac{5}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = - 3\end{array} \right.\)
Với \({x_0} = - 1 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_1}\left( { - 1; - 4} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_1}\left( { - 1; - 4} \right)\) là:
\(y = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow y = 5\left( {x + 1} \right) - 4 \Leftrightarrow y = 5x + 1.\)
Với \({x_0} = - 3 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_2}\left( { - 3;6} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_2}\left( { - 3;6} \right)\) là:
\(y = f'\left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + f\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y = 5\left( {x + 3} \right) + 6 \Leftrightarrow y = 5x + 21.\)
b)Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y = - 20x + 1\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k = \frac{1}{{20}}.\)
Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị.
\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{20}} \Leftrightarrow \frac{5}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{20}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 8\\{x_0} = - 12\end{array} \right.\)
Với \({x_0} = 8 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_1}\left( {8;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_1}\left( {8;\frac{1}{2}} \right)\) là:\(y = f'\left( 8 \right)\left( {x - 8} \right) + f\left( 8 \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}\left( {x - 8} \right) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}x + \frac{1}{{10}}.\)
Với \({x_0} = - 12 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_2}\left( { - 12;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_2}\left( { - 12;\frac{3}{2}} \right)\) là:
\(y = f'\left( { - 12} \right)\left( {x + 12} \right) + f\left( { - 12} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}\left( {x + 12} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}x + \frac{{21}}{{10}}.\)
Bài 23 trang 74 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng trong hình học không gian.
Bài 23 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải câu a, ta cần xác định tọa độ của các vectơ liên quan. Sau đó, áp dụng công thức tính tích vô hướng và cosin góc giữa hai vectơ để tìm ra góc cần tìm. Lưu ý, kết quả góc thường được biểu diễn bằng độ hoặc radian.
Câu b thường yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức hoặc một mối quan hệ nào đó. Để giải quyết, ta cần biến đổi các biểu thức đại số một cách hợp lý, sử dụng các tính chất của tích vô hướng và các công thức hình học.
Câu c có thể là một bài toán ứng dụng thực tế, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết một vấn đề cụ thể. Trong trường hợp này, ta cần phân tích bài toán, xác định các yếu tố liên quan và xây dựng mô hình toán học phù hợp.
Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Giải:
Vậy, góc giữa hai vectơ a và b là 90°.
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu rõ hơn về tích vô hướng và các ứng dụng của nó:
Bài 23 trang 74 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích vô hướng và các ứng dụng của nó. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong học tập.
