Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, và các ví dụ minh họa từ SBT Toán 11 - Cánh diều.

1. Định nghĩa đạo hàm

Giả sử hàm số f(x) được xác định trên khoảng mở (a; b). Nếu tồn tại giới hạn

lim_h→0 [f(x + h) - f(x)] / h

thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x).

Công thức:

f'(x) = lim_h→0 [f(x + h) - f(x)] / h

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x) của hàm số f(x) tại điểm x biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x.

Nói cách khác, đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm cụ thể.

3. Ví dụ minh họa (SBT Toán 11 - Cánh diều)

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x² tại x = 2.

Giải:

f'(x) = lim_h→0 [(x + h)² - x²] / h

= lim_h→0 [x² + 2xh + h² - x²] / h

= lim_h→0 [2xh + h²] / h

= lim_h→0 (2x + h)

= 2x

Vậy f'(x) = 2x. Do đó, f'(2) = 2 * 2 = 4.

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = 3x + 1. Tính f'(x).

Giải:

f'(x) = lim_h→0 [3(x + h) + 1 - (3x + 1)] / h

= lim_h→0 [3x + 3h + 1 - 3x - 1] / h

= lim_h→0 3h / h

= 3

Vậy f'(x) = 3.

4. Các dạng bài tập thường gặp

• Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước.
• Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
• Sử dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi.

5. Lưu ý quan trọng

Khi tính đạo hàm, cần chú ý đến điều kiện tồn tại của giới hạn. Không phải hàm số nào cũng có đạo hàm tại mọi điểm. Ví dụ, hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x = 0.

6. Mở rộng kiến thức

Đạo hàm là nền tảng cho nhiều khái niệm quan trọng khác trong giải tích, như đạo hàm cấp cao, đạo hàm riêng, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, điểm uốn, và vẽ đồ thị hàm số.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm. Hãy luyện tập thêm các bài tập trong SBT Toán 11 - Cánh diều để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.