Giải bài 24 trang 50 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 24 trang 50 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 24 trang 50 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_2} + {u_4} = 22\), \({u_1}{\rm{ }}{\rm{. }}{u_5} = 21\) và công sai \(d\) dương.
Đề bài
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_2} + {u_4} = 22\), \({u_1}{\rm{ }}{\rm{. }}{u_5} = 21\) và công sai \(d\) dương.
a) Tính \({u_{100}}\), \({S_{100}}\)
b) Tính tổng \({u_1} + {u_5} + {u_9} + ... + {u_{101}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) để tìm \({u_1}\) và \(d\), từ đó tính \({u_{100}}\) và \({S_{100}}\).
b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_{4n - 3}}\), ta thấy \({v_1} = {u_1}\), \({v_2} = {u_5}\), \({v_3} = {u_9}\),…, \({v_{26}} = {u_{101}}\).
Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = {u_1}\) và công sai \(d' = {v_2} - {v_1} = 4d\).
Do đó, tổng cần tính bằng \({v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{26}}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({u_2} + {u_4} = 22 \Leftrightarrow {u_1} + d + {u_1} + 3d = 22 \Leftrightarrow 2{u_1} + 4d = 22 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 11\)
\( \Leftrightarrow {u_1} = 11 - 2d\) (1).
Mặt khắc, vì\({u_1}.{u_5} = 21 \Leftrightarrow {u_1}.\left( {{u_1} + 4d} \right) = 21\) (2).
Thế (1) vào (2) ta có:
\(\left( {11 - 2d} \right)\left( {11 - 2d + 4d} \right) = 21 \Leftrightarrow \left( {11 - 2d} \right)\left( {11 + 2d} \right) = 21 \Leftrightarrow {11^2} - {\left( {2d} \right)^2} = 21\)
\(4{d^2} = 100 \Leftrightarrow {d^2} = 25 \Leftrightarrow d = 5\) (do công sai \(d > 0\))
\({u_1} = 11 - 2d = 11 - 10 = 1\).
Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 1 và 5.
Suy ra:
\({u_{100}} = {u_1} + 99d = 1 + 99.5 = 496\), \({S_{100}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 99d} \right).100}}{2} = 50\left( {2 + 99.5} \right) = 24850\).
b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_{4n - 3}}\), ta thấy \({v_1} = {u_1}\), \({v_2} = {u_5}\), \({v_3} = {u_9}\),…, \({v_{26}} = {u_{101}}\).
Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} = 1\) và công sai \(d' = {v_2} - {v_1} = 4d = 20\).
Do đó, tổng cần tính bằng
\({v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{26}} = S'_{26} = \frac{{\left( {2{v_1} + 25d'} \right).26}}{2} = 13\left( {2.1 + 25.20} \right) = 6526\).
Giải bài 24 trang 50 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 24 trang 50 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Nội dung bài tập
Bài 24 bao gồm các dạng bài tập sau:
- Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
- Xác định góc giữa hai đường thẳng.
- Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Xác định phương trình đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Phương pháp giải
Để giải quyết bài 24 trang 50 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Vectơ: Khái niệm, các phép toán trên vectơ, tích vô hướng, tích có hướng.
- Phương trình đường thẳng: Dạng tham số, dạng chính tắc, phương trình mặt phẳng.
- Điều kiện song song, vuông góc, cắt nhau của hai đường thẳng.
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Giải chi tiết bài 24
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 24 trang 50 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều:
Câu 1: (Ví dụ minh họa)
Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1 và d2.
Lời giải:
Ta có vectơ chỉ phương của d1 là a = (1, -1, 2) và vectơ chỉ phương của d2 là b = (-1, 1, -1). Ta thấy a và b không cùng phương. Xét hệ phương trình:
1 + t = 2 - s
2 - t = 1 + s
3 + 2t = 4 - s
Giải hệ phương trình này, ta tìm được nghiệm t = 1 và s = 0. Vậy hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm có tọa độ (2, 1, 5).
Câu 2: (Ví dụ minh họa)
Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
Lời giải:
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Ta có:
cos φ = |a.b| / (||a||.||b||) = |(1)(-1) + (-1)(1) + (2)(-1)| / (√(1^2 + (-1)^2 + 2^2) * √( (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2)) = |-4| / (√6 * √3) = 4 / (3√2) = 2√2 / 3
Vậy φ = arccos(2√2 / 3) ≈ 19.47°
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, học sinh cần chú ý:
- Nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan.
- Sử dụng các vectơ một cách linh hoạt để giải quyết bài toán.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
Kết luận
Bài 24 trang 50 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập.
