Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm then chốt để hiểu về sự hội tụ và phân kỳ của dãy số, đồng thời là nền tảng cho việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số trong các chương sau.

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

2. Các tính chất của giới hạn

• Tính duy nhất: Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
• Tính chất cộng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
• Tính chất nhân: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
• Tính chất chia: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

3.1. Dãy số không đổi

Nếu u_n = a với mọi n, thì lim_n→∞ u_n = a.

3.2. Dãy số có dạng phân số

Để tính giới hạn của dãy số có dạng phân số, ta thường chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất xuất hiện trong biểu thức.

Ví dụ: lim_n→∞ (2n + 1) / (n² + 3) = lim_n→∞ (2/n + 1/n²) / (1 + 3/n²) = 0 / 1 = 0.

3.3. Dãy số có căn thức

Để tính giới hạn của dãy số có căn thức, ta thường đưa về dạng đơn giản hơn bằng cách nhân liên hợp hoặc sử dụng các tính chất của căn thức.

3.4. Dãy số với số mũ

Khi dãy số chứa số mũ, cần xem xét các trường hợp khác nhau của số mũ để xác định giới hạn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5).

Giải:

lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5) = lim_n→∞ (3 + 2/n - 1/n²) / (1 + 5/n²) = 3 / 1 = 3.

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ.

Giải:

Đây là một giới hạn quen thuộc, có giá trị bằng số e (số Euler). lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2.71828.

5. Bài tập áp dụng

1. Tính lim_n→∞ (5n - 3) / (2n + 1).
2. Tính lim_n→∞ (n³ + 2n² - 1) / (n³ + 5).
3. Tính lim_n→∞ (1 - 1/n²)ⁿ.

6. Kết luận

Bài 1. Giới hạn của dãy số là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học về giải tích. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các dạng giới hạn thường gặp sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!