Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trong sách bài tập Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc củng cố kiến thức về điều kiện hai mặt phẳng vuông góc và ứng dụng của chúng trong không gian. Để hiểu rõ hơn về bài học này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

1. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°.
Phương pháp 2: Sử dụng định lý: Nếu một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và d nằm trong mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Phương pháp 3: Sử dụng các tính chất của đường vuông góc chung: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với (Q).

2. Các bài tập thường gặp trong Bài 4

Các bài tập trong Bài 4 thường yêu cầu:

Xác định điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Ứng dụng kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc để giải các bài toán hình học không gian.

3. Giải chi tiết các bài tập trong SBT Toán 11 - Cánh diều (Bài 4)

Dưới đây là giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu trong sách bài tập:

Bài 4.1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
Do đó, AC ⊥ (SAC). Suy ra SC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAC).
Góc giữa SC và (ABCD) bằng góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD), tức là góc SCO.
Trong tam giác SCO, ta có SO = a√2/2 và SC = √(SA² + AC²) = √(a² + 2a²) = a√3.
Suy ra tan SCO = SO/OC = (a√2/2) / (a√2/2) = 1. Vậy SCO = 45°.

Bài 4.2:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến d. Gọi A là một điểm thuộc (P) và B là một điểm thuộc (Q). Tìm tập hợp các điểm C sao cho AC ⊥ BC.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A lên (Q). Vì (P) ⊥ (Q) theo d nên AH ⊥ (Q). Do đó, AH ⊥ BH. Để AC ⊥ BC, ta cần có AC² + BC² = AB². Xét tam giác ABC, với trung điểm M của AB, ta có AM = BM = AB/2. Khi đó, CM = √(AC² + BC²)/2. Vậy, tập hợp các điểm C là đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng trung trực của AB.

4. Mẹo giải bài tập về hai mặt phẳng vuông góc

Vẽ hình chính xác và rõ ràng.
Xác định các yếu tố quan trọng như đường vuông góc, hình chiếu.
Sử dụng các định lý và tính chất liên quan một cách linh hoạt.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

5. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, các em nên luyện tập thêm các bài tập khác trong sách bài tập và các đề thi thử. montoan.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác. Chúc các em học tốt!