Chương IV. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Chương IV: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - SBT Toán 11 Cánh Diều

Chương IV trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều, đặc biệt là mối quan hệ song song giữa chúng. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, đặt nền móng cho các kiến thức phức tạp hơn trong chương trình học.

I. Các khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về quan hệ song song, trước tiên chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Đường thẳng trong không gian: Một đường thẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương.
• Mặt phẳng trong không gian: Một mặt phẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến.
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ cùng phương với đường thẳng đó.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó.

II. Điều kiện song song

1. Hai đường thẳng song song:

Hai đường thẳng d₁ và d₂ được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung và các vectơ chỉ phương của chúng cùng phương. Điều này có thể được biểu diễn bằng công thức:

a₁ = ka₂ (với k là một số thực khác 0, a₁ và a₂ là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂).

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song:

Đường thẳng d và mặt phẳng (P) được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung và vectơ chỉ phương của d vuông góc với vectơ pháp tuyến của (P). Điều này có thể được biểu diễn bằng công thức:

a . n = 0 (với a là vectơ chỉ phương của d, n là vectơ pháp tuyến của (P)).

3. Hai mặt phẳng song song:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung và các vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Điều này có thể được biểu diễn bằng công thức:

n₁ = kn₂ (với k là một số thực khác 0, n₁ và n₂ là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q)).

III. Các bài tập thường gặp và phương pháp giải

Trong SBT Toán 11 Cánh Diều, các bài tập về quan hệ song song thường yêu cầu:

• Xác định xem hai đường thẳng có song song hay không.
• Xác định xem một đường thẳng và một mặt phẳng có song song hay không.
• Xác định xem hai mặt phẳng có song song hay không.
• Tìm điều kiện để các yếu tố hình học song song.

Phương pháp giải:

1. Xác định các vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến liên quan.
2. Kiểm tra các điều kiện song song bằng cách sử dụng các công thức đã nêu ở trên.
3. Sử dụng các tính chất của vectơ để đơn giản hóa bài toán.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương a₁ = (1, 2, 3) và d₂ có vectơ chỉ phương a₂ = (2, 4, 6). Xác định xem hai đường thẳng này có song song hay không.

Giải: Ta thấy a₂ = 2a₁, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = (1, 1, 1) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1, -1, 0). Xác định xem đường thẳng d và mặt phẳng (P) có song song hay không.

Giải: Ta có a . n = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(0) = 0, do đó đường thẳng d và mặt phẳng (P) song song.

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về quan hệ song song, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong SBT Toán 11 Cánh Diều và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản và áp dụng các công thức một cách linh hoạt. Chúc bạn học tốt!