Bài 15. Giới hạn của dãy số

Bài 15. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 15 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc tìm hiểu và vận dụng khái niệm giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong giải tích, làm nền tảng cho việc nghiên cứu về đạo hàm, tích phân và các khái niệm toán học phức tạp hơn.

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn vô cực (dương hoặc âm) nếu với mọi M > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có u_n > M (giới hạn vô cực dương) hoặc u_n < M (giới hạn vô cực âm).

2. Các dạng giới hạn cơ bản

• Giới hạn của dãy số không đổi: lim_n→∞ c = c (với c là hằng số).
• Giới hạn của dãy số có dạng phân thức: Cần xét tử và mẫu. Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, giới hạn bằng 0. Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu, giới hạn bằng tỷ số của các hệ số cao nhất. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, giới hạn là vô cực (dương hoặc âm).
• Giới hạn của dãy số có căn thức: Cần xét biểu thức dưới dấu căn.

3. Các tính chất của giới hạn

Giới hạn của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các giới hạn. Giới hạn của một tích bằng tích các giới hạn. Giới hạn của một thương bằng thương các giới hạn (với mẫu khác 0). Giới hạn của một lũy thừa bằng lũy thừa của giới hạn.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3).

Giải: Vì bậc của tử bằng bậc của mẫu, ta có lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3) = 2 / 1 = 2.

Bài tập 2: Tính lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ.

Giải: Đây là giới hạn quen thuộc, lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e (số Euler).

5. Phương pháp giải bài tập về giới hạn của dãy số

1. Xác định dạng của dãy số: Dãy số không đổi, phân thức, căn thức,...
2. Áp dụng các công thức và tính chất về giới hạn: Sử dụng các công thức giới hạn cơ bản và các tính chất của giới hạn để đơn giản hóa biểu thức.
3. Kiểm tra điều kiện: Đảm bảo rằng các điều kiện của các công thức và tính chất được thỏa mãn.
4. Kết luận: Rút ra kết luận về giới hạn của dãy số.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về giới hạn của dãy số, các em cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy nhiều bài tập trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức và các tài liệu tham khảo khác.

7. Ứng dụng của giới hạn của dãy số

Khái niệm giới hạn của dãy số có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác. Ví dụ, nó được sử dụng để định nghĩa đạo hàm, tích phân, và để giải quyết các bài toán về sự hội tụ của dãy số và chuỗi số.

Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những kiến thức được trình bày trên đây, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 15. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!