Giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 5.9 trang 78 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Bài 5.9 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp cận nhất, giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)
a) Tính \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) theo n.
b) Tính \({u_n}\) theo n.
c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({v_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Do đó, \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = 2\left( {\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}}} \right) = 3.\left( {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)\)
Mặt khác:
\({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = {u_{n + 1}} - {u_1} = {u_{n + 1}} - 2\)
Vậy \({u_n} = 3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{5.3}^n} - 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5 - \frac{1}{{{3^n}}}}}{1} = 5\)
Giải bài 5.9 trang 78 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài 5.9 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phân tích đề bài và xác định yêu cầu
Đề bài yêu cầu giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Trước khi bắt đầu giải, chúng ta cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu và xác định các thông tin quan trọng. Thông thường, bài tập này sẽ yêu cầu:
- Tính đạo hàm cấp nhất của hàm số.
- Tìm các điểm làm đạo hàm cấp nhất bằng 0 hoặc không xác định.
- Xác định dấu của đạo hàm cấp nhất trên các khoảng xác định để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết bài 5.9 trang 78
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = f(x). (Ở đây, cần thay thế bằng hàm số cụ thể trong sách bài tập)
- Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x) = ... (thực hiện tính đạo hàm)
- Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các giá trị x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Kiểm tra xem đạo hàm có tồn tại tại các điểm không xác định hay không.
- Xác định dấu của đạo hàm: Lập bảng xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm cực trị và điểm không xác định.
- Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến:
- Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Tìm các điểm cực trị:
- Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = a, hàm số đạt cực đại tại x = a.
- Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = a, hàm số đạt cực tiểu tại x = a.
Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số là y = x3 - 3x2 + 2.
Bước 1: Tính đạo hàm: y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm cực trị: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Lập bảng xét dấu:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Bước 4: Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
- Sử dụng đúng các công thức đạo hàm.
- Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.
- Rèn luyện thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
