Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Bài 28 tập trung vào ba loại biến cố cơ bản: biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc nắm vững kiến thức về các biến cố này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp (Union of Events)

Biến cố hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
P(A): Xác suất của biến cố A
P(B): Xác suất của biến cố B
P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao (Intersection of Events)

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập, cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

3. Biến cố độc lập (Independent Events)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Điều kiện để hai biến cố A và B độc lập là:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt. Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn” và B là biến cố “mặt xuất hiện là số lớn hơn 3”. Tính xác suất của biến cố hợp A ∪ B và biến cố giao A ∩ B.

Giải:

P(A) = 3/6 = 1/2 (các mặt chẵn là 2, 4, 6)
P(B) = 3/6 = 1/2 (các mặt lớn hơn 3 là 4, 5, 6)
A ∩ B = {4, 6} => P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu xanh”. Kiểm tra xem A và B có độc lập không.

Giải:

P(A) = 5/8

P(B) = 3/8

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (3/7) = 15/56

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) (15/56 ≠ (5/8)*(3/8) = 15/64), nên A và B không độc lập.

Bài tập luyện tập

Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
Một túi chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Chúc các em học tập tốt!