Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) v
Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) và số đo của góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).
a) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
b) Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính theo a khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
- Dựng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\)
- Chứng minh \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
- Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\) suy ra tam giác \(AHA'\)vuông cân.
- Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\) tính \(BC\).
- \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}}\).
- \(AK = \frac{1}{2}A'H\).
b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).
\({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA'\)
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\) thì \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\).
Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC} = 7{a^2}\), suy ra \(BC = a\sqrt 7 \).
Do đó \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}a\).
Vì tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AK = \frac{{A'H}}{2} = \frac{{AH\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).
b) Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) là \({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot AA' = \frac{{27\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)
Giải bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Phân tích và Lời giải chi tiết
Bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số.
Đề bài bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)^2(x+2). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?)
Phương pháp giải bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
- Đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số: Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b). Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).
- Xét dấu tam thức bậc hai: Trong trường hợp đạo hàm là một tam thức bậc hai, chúng ta cần xét dấu tam thức đó để xác định khoảng mà đạo hàm dương hoặc âm.
Lời giải chi tiết bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết luận cuối cùng. Ví dụ:)
Ta có f'(x) = (x-1)^2(x+2). Để hàm số y = f(x) đồng biến, ta cần f'(x) > 0.
Vì (x-1)^2 luôn dương với mọi x khác 1, nên f'(x) > 0 khi và chỉ khi x + 2 > 0, tức là x > -2.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng tại x = 1, f'(x) = 0, hàm số không đồng biến. Do đó, hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-2, 1) và (1, +∞).
Các dạng bài tập tương tự bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Ngoài bài 7.54, còn rất nhiều bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Giải các bài toán ứng dụng đạo hàm.
Mẹo giải bài tập về đạo hàm hiệu quả
Để giải các bài tập về đạo hàm hiệu quả, bạn nên:
- Nắm vững các công thức tính đạo hàm cơ bản.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm giải toán.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Tài liệu tham khảo thêm
Để hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức.
- Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
- Các trang web học toán online uy tín.
Kết luận
Bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này và các bài tập tương tự.
