Giải bài 9.2 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 9.2 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 9.2 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp phương pháp giải bài tập rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) và \(f'\left( 1 \right)\).
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) và \(f'\left( 1 \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} \in (a;b)\), ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính \(f(x) - f\left( {{x_0}} \right)\).
2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in (a;b),x \ne {x_0}\).
3. Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết
\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{{(2x - 1)}^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{(2x - 1)}^2}} \right] = {( - 1)^2} = 1\)
Để tính \(f'\left( 1 \right)\), ta phân tích:
\(\begin{array}{*{20}{r}}{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}&{\; = x{{(2x - 1)}^2} - 1 = \left( {x - 1} \right){{(2x - 1)}^2} + {{(2x - 1)}^2} - 1}\\{}&{}\end{array}\)
\( = \left( {x - 1} \right){(2x - 1)^2} + 4x\left( {x - 1} \right).\)
Khi đó, \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4x} \right] = 5\)
Giải bài 9.2 trang 57 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài 9.2 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số bậc ba. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm bậc nhất: Đạo hàm bậc nhất của hàm số cho ta biết được chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Lập bảng biến thiên: Bảng biến thiên giúp ta hình dung được sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định.
- Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng xác định.
Phân tích chi tiết bài toán
Để minh họa, xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta sẽ tiến hành giải bài tập theo các bước trên:
- Tập xác định: Hàm số f(x) xác định trên tập số thực R.
- Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x2 - 6x
- Điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
- Bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞ f'(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ - Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.
Ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số
Việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm không chỉ giúp ta xác định được tính đơn điệu, cực trị của hàm số mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng khác trong toán học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Ví dụ, đạo hàm có thể được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định, hoặc để giải các bài toán tối ưu hóa.
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.
- Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.
- Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm và các khái niệm liên quan.
Tổng kết
Bài 9.2 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập và nắm vững kiến thức Toán 11.
