THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 9.2 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp phương pháp giải bài tập rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) và \(f'\left( 1 \right)\).
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) và \(f'\left( 1 \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} \in (a;b)\), ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính \(f(x) - f\left( {{x_0}} \right)\).
2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in (a;b),x \ne {x_0}\).
3. Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết
\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{{(2x - 1)}^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{(2x - 1)}^2}} \right] = {( - 1)^2} = 1\)
Để tính \(f'\left( 1 \right)\), ta phân tích:
\(\begin{array}{*{20}{r}}{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}&{\; = x{{(2x - 1)}^2} - 1 = \left( {x - 1} \right){{(2x - 1)}^2} + {{(2x - 1)}^2} - 1}\\{}&{}\end{array}\)
\( = \left( {x - 1} \right){(2x - 1)^2} + 4x\left( {x - 1} \right).\)
Khi đó, \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4x} \right] = 5\)
Bài 9.2 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số bậc ba. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Để minh họa, xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta sẽ tiến hành giải bài tập theo các bước trên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm không chỉ giúp ta xác định được tính đơn điệu, cực trị của hàm số mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng khác trong toán học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Ví dụ, đạo hàm có thể được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định, hoặc để giải các bài toán tối ưu hóa.
Bài 9.2 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập và nắm vững kiến thức Toán 11.
