Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức

1. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0 (nếu giới hạn này tồn tại). Công thức:

f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀. Đạo hàm f'(x₀) là một số thực.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x₀) của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Tiếp tuyến là đường thẳng đi qua điểm (x₀, f(x₀)) và có hệ số góc f'(x₀). Phương trình tiếp tuyến:

y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc và gia tốc.

• Nếu s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi được của một vật chuyển động theo thời gian t, thì đạo hàm s'(t) biểu diễn vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.
• Đạo hàm của vận tốc v'(t) biểu diễn gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

4. Các quy tắc tính đạo hàm

Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả, chúng ta có thể sử dụng các quy tắc sau:

• Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
• Đạo hàm của hàm số mũ: (e^x)' = e^x
• Đạo hàm của hàm số logarit: (ln x)' = 1/x
• Đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
• Đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
• Đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• Đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

5. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1

Giải:

f'(x) = (x³)' + 2(x²)' - 5(x)' + (1)' = 3x² + 4x - 5 + 0 = 3x² + 4x - 5

Ví dụ 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² - 3x + 2 tại điểm có hoành độ x = 1

Giải:

y' = (x² - 3x + 2)' = 2x - 3

Tại x = 1, y' = 2(1) - 3 = -1. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là -1.

6. Luyện tập

1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
• f(x) = 4x⁴ - 7x² + 3
• g(x) = sin(x) + cos(x)
• h(x) = e^2x
2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 6x² + 9x - 4 tại điểm có hoành độ x = 2

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.