Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp phương pháp giải bài tập rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\).
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\).
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt \(AMN.A'B'D'\).
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(A'B\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt \(AMN.A'B'D'\).
Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A'B'D'}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A'B'D'}}} } \right)\)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(A'B\).
- Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song song với đường thẳng còn lại: \(MN//\left( {A'BD} \right)\)
- \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\)
- Đặt \(h = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} \Rightarrow \) \(h \Rightarrow \)\(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\)
Vậy \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({S_{A'B'D'}} = \frac{{{a^2}}}{2};{S_{AMN}} = \frac{{{a^2}}}{8};{S_{ABCD}} = {a^2};AA' = a\), suy ra thể tích khối chóp cụt \(AMN \cdot A'B'D'\) là:
\(V = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A'B'D'}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A'B'D'}}} } \right)\)
\( = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{a^2}}}{8} \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} } \right) = \frac{{7{a^3}}}{{24}}{\rm{.\;}}\)
b) Vì \(MN//BD\) nên \(MN//\left( {A'BD} \right)\), do đó:
\(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right).\)
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\).
Đặt \(h = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\), suy ra \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Giải bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế, thường liên quan đến việc tìm cực trị của hàm số hoặc khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Nội dung bài tập 7.55
Để hiểu rõ hơn về bài tập này, chúng ta cần xem xét nội dung cụ thể của nó. Thông thường, bài tập 7.55 sẽ đưa ra một hàm số và yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số (khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu).
- Vẽ đồ thị của hàm số.
Phương pháp giải bài tập 7.55
Để giải bài tập 7.55 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tính đạo hàm cấp một của hàm số.
- Bước 2: Tìm điểm cực trị. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm nghi ngờ là điểm cực trị. Sau đó, kiểm tra dấu của đạo hàm cấp hai tại các điểm này để xác định xem chúng là điểm cực đại hay cực tiểu.
- Bước 3: Khảo sát sự biến thiên. Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một, xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Sử dụng các điểm cực trị để xác định vị trí các điểm cực đại và cực tiểu.
- Bước 4: Vẽ đồ thị. Sử dụng các thông tin đã thu thập được để vẽ đồ thị của hàm số.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số cần khảo sát là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2. f''(x) = 6x - 6. f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại. f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 3: Khảo sát sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0) và (2, +∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Bước 4: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số.
Lưu ý khi giải bài tập 7.55
Khi giải bài tập 7.55, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
- Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
- Thực hành giải nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng.
Ứng dụng của bài tập 7.55
Kiến thức và kỹ năng thu được từ việc giải bài tập 7.55 có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
- Xác định các điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa.
- Phân tích sự biến thiên của các hiện tượng tự nhiên và kinh tế.
Kết luận
Bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và thực hành giải nhiều bài tập tương tự, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
