THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 7.17 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học của các em.
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông tâm (O) và các cạnh đều bằng ({rm{a}}).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) và các cạnh đều bằng \({\rm{a}}\).
a) Chứng minh rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
b) Tính góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
c) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(OM\) và mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\). Tính \({\rm{sin}}\alpha \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(SO\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên \(ABCD\) rồi suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
b) Chứng minh \(AO \bot \left( {SBD} \right)\).
Tìm hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và hình chiếu của nó.
c) Kẻ \(OK \bot BC\) tại \(K,OH \bot SK\) tại \(H\) thì ta chứng minh \(OH \bot \left( {SBC} \right)\),
Tìm hình chiếu vuông góc của \(OM\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(OM\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(OM\) và hình chiếu của nó.
Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc.
Lời giải chi tiết
a) Có SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a.
Vì O là trung điểm của AC và BD nên SO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của hai tam giác cân SAC và SBD.
Ta có: \(SO \bot AC\); \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
b) Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO\); mà \(AO \bot BD\) (hai đường chéo hình vuông) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\).
Vì \(AO \bot \left( {SBD} \right)\) nên O là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (SBD), do đó SO là hình chiếu vuông góc của SO trên mặt phẳng (SBD).
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO. Mà \(\left( {SA,SO} \right) = \widehat {ASO}\) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc \(\widehat {ASO}\). Xét tam giác SAC có
Có \(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\end{array} \right. \Rightarrow S{A^2} + S{C^2} = A{C^2} \Rightarrow SA \bot SC\) (định lí Pythagore đảo), suy ra tam giác SAC vuông cân tại \(S\) và \(\widehat {ASO} = {45^o}\). Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng \({45^o}\).
c) Kẻ \(OK \bot BC\) tại K, \(OH \bot SK\) tại H.
Có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC\\OK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SOK) \Rightarrow BC \bot OH\).
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\SK \bot OH\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC)\), hay H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC).
Suy ra HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà \(\left( {OM,MH} \right) = \widehat {OMH}\) nên góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc \(\widehat {{\rm{OMH}}}\).
Vì tam giác SAC vuông cân tại S có đường cao SO nên OA = OC = SO.
Do đó, tam giác SOC vuông cân tại O, ta lại có OM = SM = MC = \(\frac{{SC}}{2} = \frac{a}{2}\).
\(OK = \frac{a}{2}\); \(SO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(SK = \sqrt {S{B^2} - B{K^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác SOK vuông tại O, đường cao \({\rm{OH}}\) nên \({\rm{OH}}{\rm{.SK = SO}}{\rm{.OK}} \Leftrightarrow {\rm{OH}} = \frac{{{\rm{SO}} \cdot {\rm{OK}}}}{{SK}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vì tam giác OMH vuông tại H nên \({\rm{sin}}\alpha {\rm{\;}} = {\rm{sin}}\widehat {OMH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Bài 7.17 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép biến đổi lượng giác cơ bản, các công thức lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công trong việc giải bài tập này.
Bài 7.17 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập 7.17 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ: Chứng minh rằng sin2x + cos2x = 1
Lời giải:
Ta có: sin2x + cos2x = (sin x)2 + (cos x)2
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông, ta có: sin2x + cos2x = 1
Vậy, sin2x + cos2x = 1 (đpcm)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về hàm số lượng giác, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng có thể tham gia các khóa học online hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ của giáo viên và bạn bè.
Bài 7.17 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về hàm số lượng giác và các phép biến đổi lượng giác. Hy vọng rằng với những hướng dẫn và ví dụ minh họa trong bài viết này, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập một cách hiệu quả.
