Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, chủ đề về quan hệ vuông góc đóng vai trò quan trọng. Bài 25 tập trung vào việc xét điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một khái niệm cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Góc giữa hai mặt phẳng:

• Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó.
• Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và chọn một điểm không thuộc giao tuyến đó. Từ điểm này, dựng các đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°. Điều này có thể được chứng minh thông qua các định lý sau:

• Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng (P) và (Q) thì nó cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
• Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến d, thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d đều vuông góc với mặt phẳng (Q), và ngược lại.

3. Các dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc:

• Nếu (P) chứa một đường thẳng d vuông góc với (Q) thì (P) và (Q) vuông góc.
• Nếu (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau thì (P) và (Q) vuông góc.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về hai mặt phẳng vuông góc, cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định các yếu tố liên quan: Xác định các mặt phẳng, đường thẳng, góc cần xét.
2. Áp dụng lý thuyết: Sử dụng các định lý, dấu hiệu nhận biết để chứng minh hoặc tính toán.
3. Sử dụng hình học không gian: Vẽ hình minh họa để trực quan hóa bài toán và tìm ra hướng giải quyết.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng (SBC) vuông góc với (SAD).

Giải:

• Ta có SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC và SO ⊥ AD.
• Vì BC ⊥ SO và AD ⊥ SO, nên BC ⊥ (SAD) và AD ⊥ (SBC).
• Do đó, (SBC) ⊥ (SAD).

IV. Bài tập luyện tập

Dưới đây là một số bài tập luyện tập để các em củng cố kiến thức:

• Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD) nếu SA ⊥ AB và SA ⊥ AD.
• Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A và trên (Q) có điểm B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA ⊥ MB.

V. Kết luận

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Chúc các em học tập tốt!