THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1.17 trang 17, 18 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức của Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan.
Montoan cam kết cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2 + \,3\,|\cos x\,|\);
b) \(y = 2\sqrt {\sin x} + 1\);
c)\(y = 3{\cos ^2}x + 4\cos 2x\);
d) \(y = \sin x + \cos x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng lý thuyết \( - 1 \le \sin x \le 1\), \( - 1 \le \cos x \le 1\), \(0 \le \left| {\cos x} \right| \le 1\), \(0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1\), \(0 \le \sqrt {\sin x} \le 1\), \(0 \le \sqrt {\cos x} \le 1\).
Lời giải chi tiết
a) Vì \(0 \le \,|\cos x\,|\, \le \,1\) nên \(0 \le \,3\,|\cos x\,|\, \le \,3\), do đó\(2 \le \,2 + 3\,|\cos x\,|\, \le \,5\,\forall \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi
\(|\cos x\,|\, = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\).
b) Điều kiện \(\sin x \ge 0\). Vì \(0 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le \sqrt {\sin x} \le 1\) nên \(0 \le 2\sqrt {\sin x} \le 2\), do đó \(1 \le 1 + 2\sqrt {\sin x} \le 3\) với mọi x thỏa mãn \(0 \le \sin x \le 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin x = 1\) hay
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\sin x = 0\) hay \(x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).
c) Ta có \(y = {\cos ^2}x + 4\cos 2x = 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x = \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x.\)
Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),
Do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi
\(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 đạt được khi
\(\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).
d) Ta có \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi .\)
Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Rightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi .\)
Bài 1.17 trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, phép toán vectơ, và các tính chất liên quan để giải quyết các bài toán hình học không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ về biểu diễn vectơ, phép cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ với một số thực, và tích vô hướng của hai vectơ.
Bài 1.17 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Câu a: (Ví dụ minh họa) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính độ dài của vectơ AC.
Lời giải:
Vì ABCD là hình vuông, nên tam giác ABC vuông tại B. Áp dụng định lý Pitago, ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2
Suy ra AC = a√2
Câu b: (Ví dụ minh họa) Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính tích vô hướng của a và b.
Lời giải:
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2) được tính theo công thức:
a.b = x1x2 + y1y2
Trong trường hợp này, a.b = (1)(-3) + (2)(4) = -3 + 8 = 5
Để học tốt môn Toán 11, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập vectơ hiệu quả trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán 11. Chúc các em học tốt!
