Giải bài 7.18 trang 31 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 7.18 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 7.18 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

• Định nghĩa đạo hàm
• Các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp)
• Đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit)

Dưới đây là đề bài và lời giải chi tiết bài 7.18 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức:

Đề bài:

Cho hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải:

Để tìm các điểm cực trị của hàm số f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x)
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng
3. Xét dấu đạo hàm f'(x) để xác định các điểm cực trị

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Suy ra x = 0 hoặc x = 2

Vậy, các điểm dừng của hàm số là x = 0 và x = 2.

Bước 3: Xét dấu đạo hàm f'(x)

Ta xét các khoảng sau:

• Khoảng (-∞; 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0. Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
• Khoảng (0; 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0. Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
• Khoảng (2; +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0. Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Từ việc xét dấu đạo hàm, ta thấy:

• Tại x = 0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2.
• Tại x = 2, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

Kết luận:

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đạt cực đại tại x = 0, với giá trị cực đại là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, với giá trị cực tiểu là -2.

Mở rộng và ứng dụng

Bài toán tìm cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng cho trước.
• Xác định các điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa.
• Phân tích sự biến thiên của hàm số.

Để hiểu sâu hơn về đạo hàm và các ứng dụng của nó, các em học sinh nên tham khảo thêm các tài liệu học tập và luyện tập thường xuyên. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và các kiến thức bổ ích khác về toán học.

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 7.18 trang 31 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!