Bài 7. Cấp số nhân

Bài 7. Cấp số nhân - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán trong chương trình Toán học lớp 11 và các ứng dụng thực tế.

Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:
  • Nếu q = 1: S_n = n.a
  • Nếu q ≠ 1: S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q)

Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3.

Áp dụng công thức u_n = a.q^n-1, ta có: u₅ = 2.3^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162.

Ví dụ 2: Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2.

Áp dụng công thức S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q), ta có: S₁₀ = 1.(1 - 2¹⁰) / (1 - 2) = (1 - 1024) / (-1) = 1023.

Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế

Cấp số nhân xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của đời sống, ví dụ:

• Lãi kép: Số tiền lãi sau mỗi kỳ hạn được cộng vào vốn gốc, tạo thành một cấp số nhân.
• Sự tăng trưởng dân số: Nếu mỗi năm dân số tăng một tỷ lệ nhất định, số dân sẽ tăng theo cấp số nhân.
• Phản ứng hạt nhân: Số lượng hạt nhân phân rã theo thời gian tuân theo quy luật cấp số nhân.

Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Montoan.com.vn cung cấp đầy đủ các bài giải chi tiết và bài tập luyện tập để giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập.

Lời khuyên khi học về cấp số nhân

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của cấp số nhân.
• Luyện tập thành thạo các công thức tính số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên.
• Hiểu rõ ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế.
• Tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.

Kết luận

Bài 7. Cấp số nhân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được cung cấp trong bài viết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cấp số nhân và có thể áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các em học tập tốt!