Giải bài 5.3 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 5.3 trang 78 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 5.3 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tại Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
. Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}\)
Đề bài
Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}\) với a, b là các số thực thỏa mãn \(\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}} = \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}.\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}\)
Giải bài 5.3 trang 78 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài 5.3 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và tính chất của tích vô hướng.
Nội dung bài tập 5.3
Bài tập 5.3 bao gồm các dạng bài tập sau:
- Tính tích vô hướng của hai vectơ.
- Tìm góc giữa hai vectơ.
- Chứng minh các đẳng thức liên quan đến tích vô hướng.
- Ứng dụng tích vô hướng để giải các bài toán hình học.
Phương pháp giải bài tập 5.3
Để giải bài tập 5.3 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
- Các tính chất của tích vô hướng: giao hoán, phân phối, kết hợp.
- Công thức tính độ dài của vectơ: |a| = √(a.a)
- Điều kiện vuông góc của hai vectơ: a.b = 0
Lời giải chi tiết bài 5.3 trang 78
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập 5.3:
Câu a)
Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a.b.
Lời giải:
a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Câu b)
Tìm góc giữa hai vectơ a = (1; 0; 0) và b = (0; 1; 0).
Lời giải:
Ta có a.b = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0. Do đó, hai vectơ a và b vuông góc với nhau, góc giữa chúng là 90°.
Câu c)
Chứng minh rằng nếu a.b = 0 thì |a + b| = |a - b|.
Lời giải:
|a + b|2 = (a + b).(a + b) = a.a + 2a.b + b.b
|a - b|2 = (a - b).(a - b) = a.a - 2a.b + b.b
Vì a.b = 0 nên |a + b|2 = |a - b|2. Suy ra |a + b| = |a - b|.
Bài tập vận dụng
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:
- Tính tích vô hướng của hai vectơ a = (2; -1; 1) và b = (1; 3; -2).
- Tìm góc giữa hai vectơ a = (1; 1; 0) và b = (0; 1; 1).
- Chứng minh rằng nếu |a| = |b| thì |a + b| = 2|a|cos(θ/2), với θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Kết luận
Bài tập 5.3 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong giải toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập.
