Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SBT Toán 11 Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 10 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu các mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều. Đây là một chủ đề quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức hình học không gian nâng cao hơn. Để nắm vững nội dung bài học, chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm cơ bản, các định lý và phương pháp chứng minh liên quan.

Các khái niệm cơ bản

Đường thẳng trong không gian: Một đường thẳng trong không gian được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng trong không gian: Một mặt phẳng trong không gian được xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Có ba trường hợp: đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, và đường thẳng cắt mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Các định lý quan trọng

Định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng nếu và chỉ nếu nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Định lý về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng.

Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Sử dụng vectơ: Biểu diễn các đường thẳng và mặt phẳng bằng phương trình vectơ.
Sử dụng phương trình: Sử dụng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng, và phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Sử dụng hình học không gian: Vẽ hình minh họa để trực quan hóa bài toán và tìm ra lời giải.

Ví dụ minh họa

Bài tập: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).

Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d không song song với mặt phẳng (P).

Chọn một điểm thuộc đường thẳng d, ví dụ A(1, 2, 3). Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P), ta được:

2*1 - 2 + 3 - 5 = 2 - 2 + 3 - 5 = -2 ≠ 0. Do đó, điểm A không nằm trên mặt phẳng (P).

Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1, 2, 3, 4, 5 trong SBT Toán 11 Kết nối tri thức tập 1.
Các bài tập tương tự trên các trang web học toán online khác.

Kết luận

Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn. Chúc các em học tập tốt!