Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai - Lý thuyết và phương pháp giải

Tam thức bậc hai là một biểu thức đại số có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Việc xác định dấu của tam thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong toán học, đặc biệt là khi giải các bài toán về bất phương trình bậc hai và các bài toán ứng dụng.

1. Định nghĩa và các yếu tố ảnh hưởng đến dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac. Chúng ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: a > 0

Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) dương với mọi x ≠ -b/2a và f(-b/2a) = 0.
Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Cụ thể:

f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂

Trường hợp 2: a < 0

Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) âm với mọi x ≠ -b/2a và f(-b/2a) = 0.
Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Cụ thể:

f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂
f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2 > 0 và Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 9 > 0. Vậy tam thức đổi dấu tại hai nghiệm x₁ = 1/2 và x₂ = 2. Do đó:

f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2
f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2
f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 2

Ví dụ 2: Xét tam thức f(x) = -x² + 4x - 4. Ta có a = -1 < 0 và Δ = 4² - 4(-1)(-4) = 0. Vậy tam thức âm với mọi x ≠ 2 và f(2) = 0.

3. Ứng dụng của việc xác định dấu của tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học và thực tế, bao gồm:

Giải bất phương trình bậc hai: Sử dụng dấu của tam thức bậc hai để xác định tập nghiệm của bất phương trình.
Tìm khoảng giá trị của hàm số: Xác định khoảng giá trị của hàm số bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai.
Giải các bài toán tối ưu: Sử dụng dấu của tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.