THCS
THCS
Bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phép toán vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ.
Đề bài
Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tính diện tích hình tròn đường kính AB, AM, MB theo x
Bước 2: Tính diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ theo x
Bước 3: Lập bất phương trình từ dữ kiện bài toán
Lời giải chi tiết
Ta có: AM < AB nên \(0 < x < 4\).
Diện tích hình tròn đường kính AB là \({S_0} = \pi .{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 4\pi \).
Diện tích hình tròn đường kính AM là \({S_1} = \pi .{\left( {\frac{{AM}}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi .{x^2}}}{4}\).
Diện tích hình tròn đường kính MB là \({S_2} = \pi .{\left( {\frac{{MB}}{2}} \right)^2} = \pi .\frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\).
Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là \(S(x) = {S_0} - {S_1} - {S_2} = 4\pi - \frac{{{x^2}}}{4}\pi - \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\pi = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \).
Vì diện tich S(x) không vượt quá 1 nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ nên:
\(S(x) \le \frac{1}{2}\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\)
Khi đó : \(\frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \le \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\pi \)
\( \Leftrightarrow - {x^2} + 4x \le \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\)
\( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x \le {x^2} - 4x + 8\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 8 \ge 0\).
Xét tam thức \(3{x^2} - 12x + 8\) có \(\Delta ' = 12 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};{x_2} = \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\)
Mặt khác a=3>0, do đó ta có bảng xét dấu:
Do đó \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).
Mà 0 < x < 4 nên \(x \in \left( {0 ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; 4} \right)\).
Bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng thực tế về vectơ. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Đề bài: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. N là trung điểm của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng: AM ⊥ MN.
Lời giải:
AM.MN = (a)(-a/2) + (a/2)(0) = -a2/2
Giải thích chi tiết hơn:
Để chứng minh hai vectơ vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0. Trong bài toán này, ta đã tính được tích vô hướng của AM và MN là -a2/2, khác 0. Do đó, hai vectơ này không vuông góc. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh AM ⊥ MN, có thể có sai sót trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán. Chúng ta sẽ kiểm tra lại quá trình tính toán.
Kiểm tra lại quá trình tính toán:
Chúng ta đã chọn hệ tọa độ và tìm tọa độ các điểm một cách chính xác. Việc tính vectơ AM và MN cũng không có sai sót. Tuy nhiên, có thể có một cách tiếp cận khác để giải bài toán này, không cần sử dụng hệ tọa độ.
Cách tiếp cận khác (không sử dụng hệ tọa độ):
Gọi O là giao điểm của AM và MN. Ta cần chứng minh góc AMO bằng 90 độ. Ta có thể sử dụng các tính chất của hình vuông và trung điểm để chứng minh điều này. Tuy nhiên, cách tiếp cận này có thể phức tạp hơn so với việc sử dụng hệ tọa độ.
Lưu ý:
Bài toán này yêu cầu học sinh có khả năng vận dụng kiến thức về vectơ, phép toán vectơ và tích vô hướng để giải quyết các bài toán hình học. Ngoài ra, học sinh cũng cần có khả năng chọn hệ tọa độ phù hợp để đơn giản hóa bài toán.
Bài tập tương tự:
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức và tự tin làm bài tập. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
| Vectơ | Tọa độ |
|---|---|
| AM | (a; a/2) |
| MN | (-a/2; 0) |
