THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 55, 56 sách giáo khoa Toán 10 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho các em học sinh.
1a và a có bằng nhau hay không? Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0, 1, . Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài -a và -1a có mối quan hệ gì? Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
\(1\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau hay không?
Phương pháp giải:
Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Vecto \(1\;\overrightarrow a \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và \(\left| {1\;\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\).
Vậy hai vecto \(1\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau.
\( - \;\overrightarrow a \) và \( - 1\;\overrightarrow a \) có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Vecto \(k\;\overrightarrow a \) (với \(k < 0,\;\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)) là vecto ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và có độ đài bằng \(\left| k \right|\;\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Vecto \( - \;\overrightarrow a \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \)
\( \Rightarrow - \;\overrightarrow a \) ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và \(\left| { - \;\overrightarrow a \;} \right| = \left| {\;\overrightarrow a \;} \right|\)
Lại có:
Vecto \( - 1\;\overrightarrow a \) là vecto ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và có độ đài bằng \(\left| { - 1} \right|\;\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\).
\( \Rightarrow - \;\overrightarrow a \) và \( - 1\;\overrightarrow a \) cùng hướng và có độ dài bằng nhau (bằng vecto\(\;\overrightarrow a \)).
Hay \( - \;\overrightarrow a = - 1\;\overrightarrow a \)
Cho vecto \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \). Hãy xác định điểm C sao cho \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow a \)
a) Tìm mối quan hệ giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \)
b) Vecto \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto \(\overrightarrow a \)
Phương pháp giải:
Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Xác định điểm C:
Trên tia AB lấy điểm C sao cho BC = a và B nằm giữa A, C.
a) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a = \overrightarrow {BC} \) nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.
Vậy \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)
Mà \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) nên: \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số \(0;\;1;\;\sqrt 2 ;\; - \sqrt 2 \). Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) với vecto \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \). Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \).
Phương pháp giải:
Vecto \(k\;\overrightarrow a \) (với \(k > 0,\;\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)) là vecto cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và có độ đài bằng \(k\;\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy:
Vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \) có cùng giá nên chúng cùng phương.
Mà vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều.
Vậy vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng.
Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)
Ta kết luận \(\overrightarrow {OM} = \sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).
Dễ thấy:
Vecto \(\overrightarrow {ON} \) và \(\overrightarrow {OA} \) có cùng giá nên chúng cùng phương.
Mà vecto \(\overrightarrow {ON} \) và \(\overrightarrow {OA} \) thuộc hai tia đối nhau nên chúng ngược chiều.
Vậy vecto \(\overrightarrow {ON} \) và \(\overrightarrow {OA} \) ngược hướng.
Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {ON} } \right| = ON = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)
Ta kết luận \(\overrightarrow {ON} = -\sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có \(\overrightarrow {AM} = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \)
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số \(t \le 0\) để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
Phương pháp giải:
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \;\left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để \(\overrightarrow a = k.\overrightarrow b \)
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng thì \(k = \frac{{|\overrightarrow a |}}{{|\overrightarrow b |}}\)
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng thì \(k = - \frac{{|\overrightarrow a |}}{{|\overrightarrow b |}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương (cùng giá d)
Khi và chỉ khi tồn tại số t để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \).
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có \(\overrightarrow {AM} = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \)
Sai vì \(\overrightarrow {AM} = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng.
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB, tức là A nằm giữa M và B.
Khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) ngược hướng khi và chỉ khi tồn tại số \(t < 0\) để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
Vậy khẳng định c) sai.
Cho vecto \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \). Hãy xác định điểm C sao cho \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow a \)
a) Tìm mối quan hệ giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \)
b) Vecto \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto \(\overrightarrow a \)
Phương pháp giải:
Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Xác định điểm C:
Trên tia AB lấy điểm C sao cho BC = a và B nằm giữa A, C.
a) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a = \overrightarrow {BC} \) nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.
Vậy \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)
Mà \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) nên: \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow a } \right|\).
\(1\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau hay không?
Phương pháp giải:
Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Vecto \(1\;\overrightarrow a \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và \(\left| {1\;\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\).
Vậy hai vecto \(1\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau.
Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số \(0;\;1;\;\sqrt 2 ;\; - \sqrt 2 \). Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) với vecto \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \). Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \).
Phương pháp giải:
Vecto \(k\;\overrightarrow a \) (với \(k > 0,\;\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)) là vecto cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và có độ đài bằng \(k\;\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy:
Vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \) có cùng giá nên chúng cùng phương.
Mà vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều.
Vậy vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng.
Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)
Ta kết luận \(\overrightarrow {OM} = \sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).
Dễ thấy:
Vecto \(\overrightarrow {ON} \) và \(\overrightarrow {OA} \) có cùng giá nên chúng cùng phương.
Mà vecto \(\overrightarrow {ON} \) và \(\overrightarrow {OA} \) thuộc hai tia đối nhau nên chúng ngược chiều.
Vậy vecto \(\overrightarrow {ON} \) và \(\overrightarrow {OA} \) ngược hướng.
Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {ON} } \right| = ON = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)
Ta kết luận \(\overrightarrow {ON} = -\sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).
\( - \;\overrightarrow a \) và \( - 1\;\overrightarrow a \) có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Vecto \(k\;\overrightarrow a \) (với \(k < 0,\;\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)) là vecto ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và có độ đài bằng \(\left| k \right|\;\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Vecto \( - \;\overrightarrow a \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \)
\( \Rightarrow - \;\overrightarrow a \) ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và \(\left| { - \;\overrightarrow a \;} \right| = \left| {\;\overrightarrow a \;} \right|\)
Lại có:
Vecto \( - 1\;\overrightarrow a \) là vecto ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) và có độ đài bằng \(\left| { - 1} \right|\;\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\).
\( \Rightarrow - \;\overrightarrow a \) và \( - 1\;\overrightarrow a \) cùng hướng và có độ dài bằng nhau (bằng vecto\(\;\overrightarrow a \)).
Hay \( - \;\overrightarrow a = - 1\;\overrightarrow a \)
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có \(\overrightarrow {AM} = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \)
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số \(t \le 0\) để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
Phương pháp giải:
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \;\left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để \(\overrightarrow a = k.\overrightarrow b \)
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng thì \(k = \frac{{|\overrightarrow a |}}{{|\overrightarrow b |}}\)
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng thì \(k = - \frac{{|\overrightarrow a |}}{{|\overrightarrow b |}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương (cùng giá d)
Khi và chỉ khi tồn tại số t để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \).
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có \(\overrightarrow {AM} = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \)
Sai vì \(\overrightarrow {AM} = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng.
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB, tức là A nằm giữa M và B.
Khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) ngược hướng khi và chỉ khi tồn tại số \(t < 0\) để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
Vậy khẳng định c) sai.
Mục 1 trang 55, 56 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và một số khái niệm cơ bản về số thực. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 10.
Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong Toán học, được sử dụng để nhóm các đối tượng có chung một tính chất nào đó. Các em cần nắm vững các khái niệm như phần tử của tập hợp, tập con, tập rỗng, và các phép toán trên tập hợp như hợp, giao, hiệu, và phần bù.
Để hiểu rõ hơn về các phép toán trên tập hợp, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho A = {1, 2, 3} và B = {2, 4, 5}. Hãy tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, và B \ A.
Giải:
Số thực bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ. Các em cần nắm vững các tính chất của số thực như tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối của phép cộng và phép nhân, và các quy tắc dấu.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho một số bài tập tiêu biểu trong mục 1 trang 55, 56 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức:
Cho các tập hợp A = {a, b, c} và B = {b, d, e}. Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, và B \ A.
Giải:
Chứng minh rằng (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Giải:
Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta cần chứng minh rằng mọi phần tử thuộc (A ∪ B) ∩ C đều thuộc (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), và ngược lại.
(a) Chứng minh (A ∪ B) ∩ C ⊆ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C):
Giả sử x ∈ (A ∪ B) ∩ C. Điều này có nghĩa là x ∈ A ∪ B và x ∈ C. Vì x ∈ A ∪ B, nên x ∈ A hoặc x ∈ B. Nếu x ∈ A, thì x ∈ A ∩ C. Nếu x ∈ B, thì x ∈ B ∩ C. Do đó, x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
(b) Chứng minh (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ C:
Giả sử x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Điều này có nghĩa là x ∈ A ∩ C hoặc x ∈ B ∩ C. Nếu x ∈ A ∩ C, thì x ∈ A và x ∈ C. Do đó, x ∈ A ∪ B và x ∈ C, suy ra x ∈ (A ∪ B) ∩ C. Nếu x ∈ B ∩ C, thì x ∈ B và x ∈ C. Do đó, x ∈ A ∪ B và x ∈ C, suy ra x ∈ (A ∪ B) ∩ C.
Vậy, (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Để học tốt môn Toán 10, các em cần:
Montoan.com.vn hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 55, 56 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả nhất.
