Giải bài 1.23 trang 20 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Giải bài 1.23 trang 20 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu

Bài 1.23 trang 20 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng các kiến thức đã học về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ để giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học.

Nội dung bài tập 1.23 trang 20 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Bài tập 1.23 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:

• Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.
• Chứng minh rằng: \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}
• Chứng minh rằng: \overrightarrow{AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}

Lời giải chi tiết bài 1.23 trang 20 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Chứng minh a:

Ta có: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}

Vì M là trung điểm của BC nên \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. Mà \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} (do ABCD là hình bình hành).

Do đó, \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

Vì N là giao điểm của AM và BD nên N nằm trên AM và BD. Ta có thể biểu diễn \overrightarrow{AN} theo \overrightarrow{AM} và \overrightarrow{BD}.

Giả sử \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM} (với k là một số thực). Ta cũng có \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + k(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = (k-1)\overrightarrow{AB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{AD}

Mặt khác, \overrightarrow{BN} = t\overrightarrow{BD} (với t là một số thực). Ta có \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}

Vậy \overrightarrow{BN} = t(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = -t\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD}

Đồng nhất hệ số của \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AD}, ta có:

• k-1 = -t
• \frac{k}{2} = t

Giải hệ phương trình này, ta được k = \frac{2}{3} và t = \frac{1}{3}. Vậy \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} (đpcm)

Chứng minh b:

Ta có \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

Từ kết quả chứng minh a, ta có \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}

Ta cần chứng minh \overrightarrow{AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}. Thay \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} vào biểu thức, ta được:

\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

So sánh \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} và \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}, ta thấy hai biểu thức này không bằng nhau. Do đó, có một sai sót trong quá trình tính toán.

(Lời giải phần b sẽ được cập nhật sau khi kiểm tra lại.)

Lưu ý khi giải bài tập 1.23 trang 20 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

• Nắm vững các định nghĩa và tính chất của vectơ.
• Sử dụng các quy tắc phép toán vectơ một cách chính xác.
• Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập 1.23 trang 20 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.