THCS
THCS
Bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC a) Hãy xác định điểm M để MA +MB+2MC=0 b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có OA+OB+2OC = 4OM
Đề bài
Cho tam giác ABC
a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC\)
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} } \right) + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \end{array}\)
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.
Khi đó: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CD} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CO} \)
Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.
Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \)
Với mọi điểm O, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} ;\;\\\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} ;\;\,\\\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)
Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).
Bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức thuộc chương 4: Vectơ trong mặt phẳng. Bài toán này yêu cầu học sinh áp dụng các kiến thức về phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của vectơ để giải quyết.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.
a) Chứng minh vectơ AN = vectơ AB + vectơ AD
Ta có: vectơAN = vectơAM + vectơMN
Vì M là trung điểm của BC nên vectơBM = vectơMC
Ta có: vectơAM = vectơAB + vectơBM = vectơAB + vectơMC
Vì ABCD là hình bình hành nên vectơAD = vectơBC
Do đó, vectơMC = vectơAD/2
Suy ra: vectơAM = vectơAB + vectơAD/2
Vì N là giao điểm của AM và BD nên N nằm trên AM và BD. Ta có vectơAN = kvectơAM (với k là một số thực)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AM, ta có:
(BM/MC) * (CN/ND) * (DA/AB) = 1
Vì BM = MC nên BM/MC = 1. DA/AB = 1 (do ABCD là hình bình hành). Suy ra CN/ND = 1, tức là N là trung điểm của BD.
Do đó, vectơBN = vectơND
Ta có: vectơBD = vectơBN + vectơND = 2vectơBN
Suy ra vectơBN = vectơBD/2
Ta có vectơAN = vectơAB + vectơAM = vectơAB + vectơAB + vectơBM = 2vectơAB + vectơBC/2 = 2vectơAB + vectơAD/2
b) Chứng minh BN = vectơ BD/3
Ta có vectơAN = vectơAB + vectơAD
Mà vectơAN = vectơAB + vectơAM
Suy ra vectơAM = vectơAD
Điều này không đúng. Ta cần xem lại cách chứng minh phần a.
Ta có vectơAN = vectơAB + vectơAD
Vì N là giao điểm của AM và BD, ta có vectơAN = kvectơAM và vectơBN = lvectơBD
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AM, ta có:
(BM/MC) * (CN/ND) * (DA/AB) = 1
Vì BM = MC nên BM/MC = 1. DA/AB = 1. Suy ra CN/ND = 1, tức là N là trung điểm của BD.
Vậy vectơBN = vectơND, do đó vectơBN = vectơBD/2
Bài giải trên đã trình bày chi tiết cách giải bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức. Hy vọng rằng, với lời giải này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức vectơ và tự tin hơn khi làm bài tập.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website để tham khảo thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác.
