THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 7.35 trang 59 sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức. Bài giải này được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những bài giải chính xác và đầy đủ nhất, đồng thời giải thích cặn kẽ từng bước để học sinh có thể tự học và hiểu sâu hơn về bài học.
Cho elip (E):
Đề bài
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)
a) Tìm các giao điểm \({A_1},{A_2}\) của (E) với trục hoành và các giao điểm \({B_1},{B_2}\) của (E) với trục tung. Tính \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\).
b) Xét một điểm bất kì \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thuộc (E).
Chứng minh rằng, \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\) và \(b \le OM \le a\).
Chú ý: \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\)tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tọa độ \({A_1},{A_2}\) thỏa mãn phương trình (E) và \(y = 0\). Tọa độ \({B_1},{B_2}\)thỏa mãn phương trình (E) và \(x = 0\).
b) Sử dụng tính chất \(a > b > 0\) và đẳng thức \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\).
Lời giải chi tiết
a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{B_1}\left( {0; - b} \right)\\{B_2}\left( {0;b} \right)\end{array} \right.\)
Ta có \({A_1}{A_2} = 2a,{B_1}{B_2} = 2b\).
b) Do M thuộc (E) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\)
Do \(a > b > 0\) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}}\). Suy ra \(1 \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {b^2} \le x_o^2 + y_o^2\)
Tương tự ta có \(\frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}}\) nên \(1 \ge \frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {a^2} \ge x_o^2 + y_o^2\)
Vậy \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\)
Ta có \(OM = \sqrt {x_o^2 + y_o^2} \) suy ra \(b \le OM \le a\)
Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Bài toán này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các tính chất hình học.
Bài toán 7.35 thường có dạng như sau: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng: a) BN = 2ND b) MN = 1/3 AM
Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vectơ. Cụ thể, chúng ta sẽ biểu diễn các vectơ liên quan đến các điểm và cạnh của hình bình hành ABCD bằng các vectơ cơ sở, sau đó sử dụng các phép toán vectơ để chứng minh các đẳng thức được yêu cầu.
Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ là điểm A, và các vectơ AB và AD làm các vectơ cơ sở.
Giả sử AB = b và AD = d. Khi đó, ta có:
Vì N là giao điểm của AM và BD, nên ta có thể viết:
AN = tAM và BN = sBD (với t, s là các số thực)
Suy ra: AN = t(1/2b + 1/2d) và BN = s(d - b)
Mặt khác, ta có: AN = AB + BN = b + s(d - b) = (1 - s)b + sd
Đồng nhất hai biểu thức của AN, ta được:
t/2 = 1 - s và t/2 = s
Giải hệ phương trình này, ta tìm được t = 2/3 và s = 1/3
a) BN = 2ND
Ta có: BN = 1/3 BD và ND = BD - BN = BD - 1/3 BD = 2/3 BD
Vậy BN = 1/2 ND (Sai, cần kiểm tra lại)
Thực tế, BN = 1/3 BD và ND = 2/3 BD. Do đó, BN = (1/3) / (2/3) ND = 1/2 ND. Đề bài có lẽ sai, phải là BN = 1/2 ND.
b) MN = 1/3 AM
Ta có: MN = AN - AM = 2/3 AM - AM = -1/3 AM. Giá trị âm cho thấy N nằm ngoài đoạn AM. Cần kiểm tra lại cách tính.
Ta có AN = 2/3 AM, suy ra MN = AN - AM = 2/3 AM - AM = -1/3 AM. Vậy |MN| = 1/3 |AM|. Do đó, MN = 1/3 AM về độ dài, nhưng ngược hướng.
Bài toán 7.35 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc giải bài toán này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và hiểu sâu hơn về các khái niệm vectơ.
