Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 4.36 trang 72 sách giáo khoa Toán 10 – Kết nối tri thức. Bài học này thuộc chương trình đại số lớp 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5). a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ AB và CD b) Hãy giải thích tại sao các vectơ AB và CD cùng phương. c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ AC và BE cùng phương. d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ AE theo các vectơ AB và AC.
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-1; -2) và D (6;5).
a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tọa độ của vectơ: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\)
b) Tìm \(k \ne 0\) sao cho: \(\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {CD} \)
c) Vectơ \(\overrightarrow u \,(a;b)\) và \(\overrightarrow v \,(x;y)\)\((x;y \ne 0)\) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}\) \((x;y \ne 0)\)
d)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3 - 1;4 - 2) = (2;2)\) và \(\overrightarrow {CD} = (6 - ( - 1);5 - ( - 2)) = (7;7)\)
b) Dễ thấy: \((2;2) = \frac{2}{7}.(7;7)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD} \)
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.
c) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = ( - 1 - 1; - 2 - 2) = ( - 2; - 4)\) và \(\overrightarrow {BE} = (a - 3;1 - 4) = (a - 3; - 3)\)
Để \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương thì \(\frac{{a - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 4}}\)\( \Leftrightarrow a - 3 = - \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)
Vậy \(a = \frac{3}{2}\) hay \(E\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương
d)
Cách 1:
Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \left( {\frac{3}{2} - 3; - 3} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right)\) ; \(\overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)
Mà \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \) (quy tắc cộng)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)
Cách 2:
Giả sử \(\overrightarrow {AE} = m\,.\,\overrightarrow {AB} + n\,.\,\overrightarrow {AC} \)(*)
Ta có: \(\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\), \(m\,.\,\overrightarrow {AB} = m\left( {2;2} \right) = (2m;2m)\), \(n\,.\,\overrightarrow {AC} = n( - 2; - 4) = ( - 2n; - 4n)\)
Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m;2m) + ( - 2n; - 4n)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m - 2n;2m - 4n)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} = 2m - 2n\\ - 1 = 2m - 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)
Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức: Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải
Bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để chứng minh một số tính chất hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:
- Tích vô hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ \vec{a}" và \vec{b}", tích vô hướng của \vec{a}" và \vec{b}" được ký hiệu là \vec{a} \cdot \vec{b}" và được tính bởi công thức: \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)", trong đó \theta" là góc giữa hai vectơ \vec{a}" và \vec{b}".
- Điều kiện vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ \vec{a}" và \vec{b}" vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: \vec{a} \cdot \vec{b} = 0".
- Ứng dụng của tích vô hướng: Tích vô hướng được sử dụng để chứng minh các tính chất liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các bài toán hình học khác.
Lời giải chi tiết bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài: Cho tam giác ABC có \vec{AB} = \vec{a}" và \vec{AC} = \vec{b}". Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})".
Lời giải:
- Biểu diễn \vec{AM}" qua \vec{a}" và \vec{b}": Vì M là trung điểm của BC, ta có \vec{BM} = \vec{MC}". Ta có thể biểu diễn \vec{BC}" như sau: \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}".
- Sử dụng tính chất trung điểm: Vì M là trung điểm của BC, ta có \vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})".
- Biểu diễn \vec{AM}": Ta có \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})".
Vậy, ta đã chứng minh được \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})".
Bài tập tương tự và mở rộng
Để củng cố kiến thức về tích vô hướng và ứng dụng trong hình học, các em có thể tự giải các bài tập sau:
- Bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
- Bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
- Các bài tập vận dụng trong sách bài tập Toán 10
Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của tích vô hướng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách, diện tích, và các yếu tố hình học khác.
Kết luận
Bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập này sẽ là nền tảng vững chắc cho các em trong quá trình học tập môn Toán ở các lớp trên.
