Giải bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \({\Delta _1}:3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và \({\Delta _2}:6x + 2y - \sqrt 6 = 0\)

b) \({d_1}:x - \sqrt 3 y + 2 = 0\) và \({d_2}:\sqrt 3 x - 3y + 2 = 0\)

c) \({m_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({m_2}:3x + y - 2 = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({\Delta _1}:3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y - \sqrt 6 = 0\)

Do đó hai đường thẳng trùng nhau.

b) Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{{ - 3}} \ne \frac{2}{2}\), do đó hai đường thẳng song song với nhau.

c) Ta có: \(\frac{1}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1}\), do đó hai đường thẳng cắt nhau.

Giải bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.

Nội dung bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Bài 7.7 bao gồm các câu hỏi và bài tập sau:

Câu 1: Tính góc giữa hai vectơ a và b khi biết tọa độ của chúng.
Câu 2: Xác định điều kiện để hai vectơ vuông góc.
Câu 3: Sử dụng tích vô hướng để chứng minh một số tính chất hình học.
Câu 4: Bài tập ứng dụng về tính độ dài đường cao trong tam giác.

Phương pháp giải bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Để giải quyết bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các kiến thức sau:

Tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Điều kiện vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a.b = 0.
Công thức tính độ dài vectơ: |a| = √(x² + y²), với a = (x, y).
Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc, chứng minh vuông góc, tính độ dài, giải quyết các bài toán hình học.

Lời giải chi tiết bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Câu 1: Tính góc giữa hai vectơ

Đề bài: Cho hai vectơ a = (2, -1) và b = (1, 3). Tính góc giữa hai vectơ a và b.

Lời giải:

Ta có: a.b = (2)(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1.

|a| = √(2² + (-1)²) = √5.

|b| = √(1² + 3²) = √10.

cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = -1 / (√5 * √10) = -1 / √50 = -1 / (5√2) = -√2 / 10.

θ = arccos(-√2 / 10) ≈ 98.13°.

Câu 2: Xác định điều kiện để hai vectơ vuông góc

Đề bài: Tìm giá trị của m để hai vectơ u = (m, 2) và v = (1, -m) vuông góc.

Lời giải:

Hai vectơ u và v vuông góc khi u.v = 0.

u.v = (m)(1) + (2)(-m) = m - 2m = -m.

-m = 0 => m = 0.

Vậy, m = 0 là giá trị cần tìm.

Câu 3: Sử dụng tích vô hướng để chứng minh tính chất hình học

Đề bài: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A nếu và chỉ nếu AB² + AC² = BC².

Lời giải:

Gọi A, B, C lần lượt là các vectơ vị trí của các đỉnh A, B, C.

AB = B - A, AC = C - A, BC = C - B.

AB² = |AB|² = (B - A).(B - A).

AC² = |AC|² = (C - A).(C - A).

BC² = |BC|² = (C - B).(C - B).

Nếu tam giác ABC vuông tại A thì AB ⊥ AC, tức là AB.AC = 0.

Khi đó, BC² = (C - B).(C - B) = (C - A + A - B).(C - A + A - B) = |C - A|² + |A - B|² + 2(C - A).(A - B) = AC² + AB² + 2(C - A).(-AB) = AC² + AB² (vì AB.AC = 0).

Vậy, AB² + AC² = BC².

Câu 4: Bài tập ứng dụng về tính độ dài đường cao trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và góc BAC = 60°. Tính độ dài đường cao AH.

Lời giải:

Diện tích tam giác ABC là S = (1/2) * AB * AC * sin(BAC) = (1/2) * 5 * 8 * sin(60°) = 20 * (√3 / 2) = 10√3.

BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(BAC) = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos(60°) = 25 + 64 - 80 * (1/2) = 89 - 40 = 49.

BC = √49 = 7.

AH = (2S) / BC = (2 * 10√3) / 7 = (20√3) / 7.

Kết luận

Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh đã nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!