Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu các bài tập trong mục 2 của chương trình Toán 10 tập 1, sách Kết nối tri thức. Chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, Montoan cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập tốt nhất.
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ uv là một số dương? Là một số âm? Khi nào thì (u.v)^2 = u^2. v^2? Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} ) theo a,b,c.
Câu hỏi 2
Khi nào thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)?
Phương pháp giải:
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
+) \({\overrightarrow u ^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\) với mọi vectơ \(\overrightarrow u \)
Lời giải chi tiết:
\({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1\\\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}\\\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}\end{array} \right.\)
Hay hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)
Luyện tập 2
Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) theo a,b,c.
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \cos \widehat {BAC}\)
Lại có: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)(suy ra từ định lí cosin)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = c.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\end{array}\)
- Câu hỏi 1
- Câu hỏi 2
- Luyện tập 2
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) là một số dương? Là một số âm?
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Nhận xét: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\;\; < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)
Vậy \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)
Khi nào thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)?
Phương pháp giải:
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
+) \({\overrightarrow u ^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\) với mọi vectơ \(\overrightarrow u \)
Lời giải chi tiết:
\({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1\\\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}\\\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}\end{array} \right.\)
Hay hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)
Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) theo a,b,c.
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \cos \widehat {BAC}\)
Lại có: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)(suy ra từ định lí cosin)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = c.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\end{array}\)
Câu hỏi 1
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) là một số dương? Là một số âm?
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Nhận xét: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\;\; < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)
Vậy \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)
Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Mục 2 của SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), và các tính chất của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tập các chương trình Toán học nâng cao hơn.
Nội dung chi tiết giải bài tập
Trang 67: Bài 1.1 - Bài 1.2
Các bài tập từ 1.1 đến 1.2 tập trung vào việc làm quen với khái niệm vectơ, xác định vectơ từ các điểm, và thực hiện các phép toán cơ bản như tìm tọa độ của vectơ tổng, hiệu, và tích với một số thực. Chúng ta sẽ sử dụng các công thức và quy tắc đã học để giải quyết các bài toán này.
- Bài 1.1: Hướng dẫn cách xác định vectơ từ hai điểm A và B, hiểu rõ về thứ tự của các điểm trong việc xác định vectơ.
- Bài 1.2: Giải thích cách thực hiện phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
Trang 68: Bài 1.3 - Bài 1.4
Các bài tập từ 1.3 đến 1.4 tiếp tục củng cố kiến thức về phép toán vectơ, đồng thời giới thiệu các tính chất của phép cộng vectơ (tính giao hoán, tính kết hợp, phần tử trung hòa, phần tử đối). Việc hiểu rõ các tính chất này giúp đơn giản hóa các bài toán và tránh sai sót.
- Bài 1.3: Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh đẳng thức vectơ.
- Bài 1.4: Tìm vectơ đối của một vectơ cho trước và sử dụng vectơ đối để giải các bài toán liên quan đến phép trừ vectơ.
Trang 69: Bài 1.5 - Bài 1.6
Bài tập 1.5 và 1.6 giới thiệu phép nhân vectơ với một số thực và các tính chất của phép nhân này (tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ, tính chất kết hợp). Chúng ta sẽ học cách nhân một vectơ với một số thực và hiểu ý nghĩa hình học của phép nhân này.
| Bài tập | Nội dung chính |
|---|---|
| Bài 1.5 | Tìm tọa độ của vectơ tích khi nhân một vectơ với một số thực. |
| Bài 1.6 | Chứng minh đẳng thức vectơ sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. |
Trang 70: Bài 1.7 - Bài 1.8
Bài tập 1.7 và 1.8 là các bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng tất cả các kiến thức đã học về vectơ để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Các bài tập này thường liên quan đến việc chứng minh các đẳng thức vectơ, tìm tọa độ của các điểm, và giải các bài toán hình học sử dụng vectơ.
Bài 1.7: Sử dụng các phép toán vectơ để chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Bài 1.8: Tìm tọa độ của một điểm M sao cho vectơ AM bằng vectơ BC.
Lời khuyên khi giải bài tập
- Vẽ hình: Luôn vẽ hình minh họa cho bài toán để dễ dàng hình dung và tìm ra hướng giải.
- Sử dụng công thức: Nắm vững các công thức và quy tắc về vectơ để áp dụng một cách chính xác.
- Kiểm tra lại: Sau khi giải xong bài tập, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
- Tham khảo lời giải: Nếu gặp khó khăn, hãy tham khảo lời giải chi tiết trên Montoan.com.vn để hiểu rõ hơn về phương pháp giải.
Kết luận
Việc giải các bài tập trong mục 2 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức là bước quan trọng để xây dựng nền tảng vững chắc cho môn Toán. Montoan.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu, chúng tôi đã giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán về vectơ.
