THCS
THCS
Bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phép toán vectơ để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm.
Đề bài
Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Gọi x là số tiền mua trái phiếu chính phủ và y là số tiền mua trái phiếu ngân hàng. (đơn vị triệu đồng) (\(x,y \le 1200\))
Khi đó, số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp là \(1200 - x - y\)(triệu đồng)
Vì số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên \(x \ge 3y\)
Vì bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên \(1200 - x - y \le 200 \Leftrightarrow x + y \ge 1000\)
Từ điều kiện của bài toán ta có số tiền bác An đầu tư trái phiếu phải thỏa mãn hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 1200}\\{0 \le y \le 1200}\\{x + y \ge 1000}\\{x - 3y \ge 0}\end{array}} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ trong mp tọa độ ta được
Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD với: A(750;250); B(1000;0); C(1200;0); D(1200;400)
Lợi nhuận thu được sau một năm là
\(\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( {x;y} \right) = x.7\% \; + y.8\% \; + (1200 - x - y).12\% }\\{ = 144 - 0,05x - 0,04y}\end{array}\)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 1200}\\{0 \le y \le 1200}\\{x + y \ge 1000}\\{x - 3y \ge 0}\end{array}} \right.\)
Thay tọa độ các điểm A, B vào biểu thức F(x;y) ta được:
\(F\left( {750;250} \right) = 144 - 0,05.750 - 0,04.250 = 96,5\)
\(F\left( {1000;0} \right) = 144 - 0,05.1000 - 0,04.0 = 94\)
\(F\left( {1200;0} \right) = 144 - 0,05.1200 - 0,04.0 = 84\)
\(F\left( {1200;400} \right) = 144 - 0,05.1200 - 0,04.400 = 68\)
=> F đạt giá trị lớn nhất là 96,5 nếu x=750 và y=250.
Vậy bác An nên đầu tư 750 trái phiếu chính phủ; 250 triệu đồng trái phiếu ngân hàng và 200 triệu trái phiếu doanh nghiệp.
Cách 2:
Bước 1: 1,2 tỉ đồng=1200 (triệu đồng)
Gọi x là số tiền mua trái phiếu ngân hàng và y là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp.
Khi đó \(x \ge 0,y \ge 0\).
Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ nên số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ là \(1200 - x - y\) (triệu đồng)
Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: \(1200 - x - y \ge 3x \Leftrightarrow 4x + y \le 1200\)
Bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên \(y \le 200\)
Từ điều kiện của bài toán ta có số tiền bác An đầu tư trái phiếu phải thỏa mãn hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\4x + y \le 1200\\y \le 200\end{array} \right.\)
Xác định miền nghiệm là miền tứ giác OABC với:
O(0;0); A(300;0); B(250;200); C(0;200).
Bước 2: Lợi nhuận thu được sau một năm là
\(\begin{array}{l}F\left( {x;y} \right) = \left( {1200 - x - y} \right).7\% + x.8\% + y.12\% \\ = 84 + 0,01x + 0,05y\end{array}\)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\4x + y \le 1200\\y \le 200\end{array} \right.\)
Thay tọa độ các điểm O, A, B, C vào biểu thức F(x;y) ta được:
\(F\left( {0;0} \right) = 80\)
\(F\left( {300;0} \right) = 84 + 0,01.300 + 0,05.0 = 87\)
\(F\left( {250;200} \right) = 84 + 0,01.250 + 0,05.200 = 96,5\)
\(F\left( {0;200} \right) = 84 + 0,01.0 + 0,05.200 = 94\)
=> F đạt giá trị lớn nhất là 96,5 nếu x=250 và y=200.
Vậy bác An nên đầu tư 250 triệu đồng trái phiếu ngân hàng, 200 triệu trái phiếu doanh nghiệp và 750 trái phiếu chính phủ.
Bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này tập trung vào việc áp dụng các tính chất của vectơ, đặc biệt là phép cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực.
Bài tập yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Để tìm vectơ c, ta thực hiện phép trừ vectơ: c = b - a. Thay tọa độ của vectơ a và b vào công thức, ta sẽ tìm được tọa độ của vectơ c.
Ví dụ: Nếu a = (1, 2) và b = (3, 4), thì c = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2).
Để tìm vectơ d, ta thực hiện các phép biến đổi sau:
d = 2a - b. Thay tọa độ của vectơ a và b vào công thức, ta sẽ tìm được tọa độ của vectơ d.
Ví dụ: Nếu a = (1, 2) và b = (3, 4), thì d = 2(1, 2) - (3, 4) = (2, 4) - (3, 4) = (-1, 0).
Để tìm điểm D, ta sử dụng tính chất của hình bình hành: overrightarrow{AB} = overrightarrow{DC}. Gọi tọa độ của điểm D là (xD, yD). Ta có:
(xB - xA, yB - yA) = (xC - xD, yC - yD)
Từ đó, ta suy ra:
xD = xA + xC - xB
yD = yA + yC - yB
Ví dụ: Nếu A = (1, 1), B = (2, 3), C = (4, 2), thì D = (1 + 4 - 2, 1 + 2 - 3) = (3, 0).
Vectơ là một khái niệm quan trọng trong Toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, tin học,... Việc hiểu rõ về vectơ sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
