Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách - Giải chi tiết

Trong mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng có thể có ba vị trí tương đối: song song, vuông góc hoặc cắt nhau nhưng không vuông góc. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, chúng ta sẽ dựa vào hệ số góc của chúng.

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Giả sử hai đường thẳng có phương trình:

• d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0
• d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Khi đó:

• d₁ // d₂ ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
• d₁ ⊥ d₂ ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
• d₁ cắt d₂ ⇔ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

2. Góc giữa hai đường thẳng

Nếu hai đường thẳng d₁ và d₂ có hệ số góc lần lượt là k₁ và k₂, thì góc θ giữa hai đường thẳng được tính bởi công thức:

tan θ = |(k₂ - k₁) / (1 + k₁k₂)|

Lưu ý: θ là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 được tính bởi công thức:

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

• d₁: 2x - y + 3 = 0
• d₂: x + 2y - 1 = 0

Giải:

Ta có: a₁ = 2, b₁ = -1, c₁ = 3 và a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = -1

Tính tỉ số: a₁/a₂ = 2/1 = 2; b₁/b₂ = -1/2 = -0.5; c₁/c₂ = 3/-1 = -3

Vì a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ nên hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:

• d₁: x - y + 1 = 0 (k₁ = 1)
• d₂: x + y - 3 = 0 (k₂ = -1)

Giải:

tan θ = |(-1 - 1) / (1 + 1*(-1))| = |-2 / 0| = ∞

Suy ra θ = 90^o. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng Δ: 3x - 4y + 5 = 0

Giải:

d = |3*1 - 4*2 + 5| / √(3² + (-4)²) = |3 - 8 + 5| / √(9 + 16) = 0 / 5 = 0

Vậy điểm A nằm trên đường thẳng Δ.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách, các em nên tự giải thêm nhiều bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng việc hiểu rõ các công thức và vận dụng linh hoạt vào các bài toán cụ thể.

montoan.com.vn hy vọng bài học này sẽ giúp các em học tốt môn Toán 10. Chúc các em thành công!