Bài 3.8 trang 42 SGK Toán 10 tập 1 thuộc chương 3: Hàm số và đồ thị. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về hàm số bậc hai, xác định tập xác định, tập giá trị và các yếu tố của parabol.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo. a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu. b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Lời giải chi tiết:
Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là \(S{\alpha ^o}E\) với \({\alpha ^o} = \widehat {CAS}\).
Do BC // AS nên \(\widehat {CAS}= \widehat {ACB}\)
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{BC}{{\sin A}} = \frac{AC}{{\sin B}} = \frac{AB}{{\sin C}}\)\( \Rightarrow \sin C = \frac{{AB.\sin B}}{AC}\)
Mà \(\widehat B = {110^o}\); \(AC \approx 111,5\); AB = 105.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C= \frac{{105.\sin {{110}^o}}}{{111,5}} \approx 0,885\\ \Rightarrow \widehat C \approx {62^o}(do\;\widehat C < {90^o})\end{array}\)
Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là \(S{62^o}E\).
Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu
Phương pháp giải:
Bước 1: Vẽ hình mô tả đường đi từ cảng A, đến nơi mà động cơ hỏng (kí hiệu là B) và hòn đảo (kí hiệu là C) nơi tàu neo đậu.
Bước 2: Tính góc \(\widehat {ABC}\), quãng đường tàu đi được sau 90 phút () và quãng đường tàu trôi tự do ().
Bước 3: Tính khoảng cách từ cảng tới nơi tàu neo đậu (đoạn AC) bằng cách áp dụng định lí cosin tại đỉnh B.
Lời giải chi tiết:
Ta có sơ đồ đường đi như sau:
Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.
Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC.
Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:
70.1,5 = 105 (km) hay AB = 105.
Sau 2 giờ tàu trôi tự do từ B đến C với vận tốc 8km/h , suy ra BC= 8.2 = 16 (km).
Ban đầu tàu di chuyển theo hướng \(S{70^o}E\) nên \(\widehat {BAS} = {70^o}\). Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} - \widehat {BAS} = {110^o}\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
\({AC^2} = {BC^2} + {AB^2} - 2.AC.BC.\cos B\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {AC^2} = {16^2} + {105^2} - 2.16.105.\cos {110^o} \approx 12430\\ \Rightarrow AC \approx 111,5.\end{array}\)
Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 111,5 km.
Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng \(S{70^o}E\) với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu
Phương pháp giải:
Bước 1: Vẽ hình mô tả đường đi từ cảng A, đến nơi mà động cơ hỏng (kí hiệu là B) và hòn đảo (kí hiệu là C) nơi tàu neo đậu.
Bước 2: Tính góc \(\widehat {ABC}\), quãng đường tàu đi được sau 90 phút () và quãng đường tàu trôi tự do ().
Bước 3: Tính khoảng cách từ cảng tới nơi tàu neo đậu (đoạn AC) bằng cách áp dụng định lí cosin tại đỉnh B.
Lời giải chi tiết:
Ta có sơ đồ đường đi như sau:
Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.
Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC.
Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:
70.1,5 = 105 (km) hay AB = 105.
Sau 2 giờ tàu trôi tự do từ B đến C với vận tốc 8km/h , suy ra BC= 8.2 = 16 (km).
Ban đầu tàu di chuyển theo hướng \(S{70^o}E\) nên \(\widehat {BAS} = {70^o}\). Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} - \widehat {BAS} = {110^o}\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
\({AC^2} = {BC^2} + {AB^2} - 2.AC.BC.\cos B\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {AC^2} = {16^2} + {105^2} - 2.16.105.\cos {110^o} \approx 12430\\ \Rightarrow AC \approx 111,5.\end{array}\)
Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 111,5 km.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Lời giải chi tiết:
Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là \(S{\alpha ^o}E\) với \({\alpha ^o} = \widehat {CAS}\).
Do BC // AS nên \(\widehat {CAS}= \widehat {ACB}\)
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{BC}{{\sin A}} = \frac{AC}{{\sin B}} = \frac{AB}{{\sin C}}\)\( \Rightarrow \sin C = \frac{{AB.\sin B}}{AC}\)
Mà \(\widehat B = {110^o}\); \(AC \approx 111,5\); AB = 105.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C= \frac{{105.\sin {{110}^o}}}{{111,5}} \approx 0,885\\ \Rightarrow \widehat C \approx {62^o}(do\;\widehat C < {90^o})\end{array}\)
Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là \(S{62^o}E\).
Bài 3.8 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = -2x2 + 4x - 1 và thực hiện các yêu cầu sau:
Hàm số f(x) = -2x2 + 4x - 1 là một hàm số bậc hai. Hàm số bậc hai có tập xác định là tập số thực, tức là D = ℝ.
Tọa độ đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c được tính theo công thức:
Trong trường hợp này, a = -2, b = 4, c = -1. Do đó:
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là (1; 1).
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = xđỉnh. Trong trường hợp này, trục đối xứng là x = 1.
Vì a = -2 < 0, parabol có hướng mở xuống. Do đó:
Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần xác định một số điểm thuộc đồ thị. Ví dụ:
x | y |
---|---|
0 | -1 |
1 | 1 |
2 | -1 |
Vẽ parabol đi qua các điểm này, có đỉnh tại (1; 1) và trục đối xứng là x = 1.
Kết luận:
Bài tập 3.8 trang 42 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập cơ bản về hàm số bậc hai. Việc nắm vững các kiến thức về tập xác định, tọa độ đỉnh, trục đối xứng và khoảng đồng biến, nghịch biến sẽ giúp học sinh giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng.
Ngoài ra, học sinh có thể tham khảo thêm các bài giảng và tài liệu học tập khác trên montoan.com.vn để hiểu sâu hơn về hàm số bậc hai và các ứng dụng của nó trong thực tế.
Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng giải toán. Chúc các em học tập tốt!