THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phương trình đường thẳng, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản và nâng cao về phương trình đường thẳng, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm, công thức và phương pháp để xác định và phân tích phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
A. Lý thuyết 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng a) Vecto pháp tuyến của đường thẳng
A. Lý thuyết
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
a) Vecto pháp tuyến của đường thẳng
| Vecto \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \). |
Nhận xét:
- Nếu \(\overrightarrow n \) là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \).
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng
| Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng \(ax + by + c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0). Ngược lại, mỗi phương trình dạng \(ax + by + c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n (a;b)\) là một vecto pháp tuyến. |
2. Phương trình tham số của đường thẳng
a) Vecto chỉ phương của đường thẳng
| Vecto \(\overrightarrow u \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \). |
Nhận xét:
- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vecto chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto chỉ phương của \(\Delta \).
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto chỉ phương của đường thẳng đó.
b) Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (a;b)\). Khi đó, điểm M(x;y) thuộc đường thẳng \(\Delta \) khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u \), hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\). Hệ trên được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \). |
B. Bài tập
Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) thỏa mãn:
a) Đi qua M(-2;-3) và có \(\overrightarrow n = (2;5)\) là vecto pháp tuyến.
b) Đi qua M(3;-5) và có \(\overrightarrow u = (2; - 4)\) là vecto chỉ phương.
c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).
Giải:
a) Phương trình \(\Delta \) là \(2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 19 = 0\).
b) Phương trình \(\Delta \) là \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).
c) Phương trình \(\Delta \) là \(\frac{{x + 3}}{{1 - ( - 3)}} = \frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong hình học giải tích lớp 10. Hiểu rõ lý thuyết này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đường thẳng, khoảng cách, và các khái niệm hình học khác.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một đường thẳng có thể được biểu diễn bằng một trong ba dạng phương trình sau:
Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, nhưng vectơ pháp tuyến thì duy nhất (hoặc đối nhau).
Có thể chuyển đổi giữa các dạng phương trình của đường thẳng:
Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0:
Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 2) và có hệ số góc m = -3.
Giải: Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + b. Thay điểm A(1, 2) và m = -3 vào, ta có: 2 = -3(1) + b => b = 5. Vậy phương trình đường thẳng là y = -3x + 5.
Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(0, -1) và C(2, 3).
Giải: Vectơ BC = (2 - 0, 3 - (-1)) = (2, 4). Chọn B(0, -1) làm điểm thuộc đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng là: x = 0 + 2t, y = -1 + 4t. Phương trình tổng quát của đường thẳng là: 2x - 4y - 4 = 0 (hay x - 2y - 2 = 0).
Phương trình đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Phương trình đường thẳng - SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
